Beweise, dass 2 PI die kleinste Periode von sin(x) ist.

Question

Ich weiß dass die Sinus-Funktion 2π-periodisch ist (Beweis über Additionstheoreme). Nun soll ich zeigen dass die periode p=2π die kleinste periode (p>0) von sin(x) ist. Wie zeigt man das?

Answer 1

geg.: f(x) = sin(k*x) ; ges.:  Periode p als kleinste positive Zahl p der Eigenschaft f(x + p) = f(x).

f(x + p) = sin(k*(x + p))

Es gilt sin(k*x) = f(x) und das ist gleich f(x + p) bei periodischen Funktionen

Es gilt auch allgemein sin(φ + 2π) = sinφ (über Additionstheorem)

-> sin(k*x)  = sin(k*x + 2π)

 ->mit sin(k*x) = sin(k*(x +p)) und mit sin(φ + 2π) folgt sin(k*(x+p)) = sin(kx + 2π) -> p = 2π/k

Man kann es auch aus der Interpretation der Funktion herauslesen:

f(x) = a*sin(b*x + c) +d (allgemeine Form)

Hier gilt für die Periodenlänge p = 2π/b