Additionstheoreme: a) sin(x-y) b) cos(x-y) mit eulerscher Formel beweisen.

Question

Aufgabe:

47. Mit Hilfe der Eulerschen Formel sind \( \sin (x-y) \) und \( \cos (x-y) \) zu bestimmen.

48. Berechnen Sie \( \sin (x) \) und \( \cos (x) \cos (y)  \) mit dem Resultat des vorhergehenden Beispiels und den Substitutionen \( u=\frac{x+y}{2} \) und \( v=\frac{x-y}{2} \)

49. Wie lautet das Ergebnis für \( \tan (x+y) \)?

Bitte um Hilfe, dass mir jemand diese Aufgaben löst :) Wegen +/-  (sind schlecht zu sehen) :bei 47 ist es jeweils ein MINUS, bei 48 auch. Bei 49 ist es x PLUS y.

Answer 1

Hi,

Aufgabe 47:

$$ e^{i(x-y)}=cos(x-y)+i*sin(x-y) $$ Andererseits gilt $$ e^{i(x-y)}=e^{ix}e^{-iy}=(cos(x)+i*sin(x))*(cos(y)-i*sin(y))= $$ $$cos(x)*cos(y)+sin(x)*sin(y)+i*(sin(x)*cos(y)-cos(x)*sin(y)) $$ Durch Vergleich der Real- und Imaginärteile ergeben sich die bekannten Additionstheoreme.