Ungleichung mit Potenzen (x-1)^2 (x+4) > 0 berechnen und Wurzel ziehen

Question

Gegeben ist folgende Ungleichung (x-1)² (x+4) > 0

Ich gehe wie folgt vor:

1. Fall

(x+4) > 0 => x>-4

(x-1)² (x+4) > 0 I : (x+4) ***Da im ersten Fall x>-4 negativ sein kann, drehe ich das > um***

Fall 1a)

***Da ich die zweite Wurzel ziehe, muss ich eine weitere Fallunterscheidung machen, da diese ja sowohl + als auch - sein kann, richtig?***

(x-1)² < 0 I +√ 

x-1 < 0 I +1

x < 1

Fall 1b)

(x-1)² < 0 I -√

-x-1 > 0 I +x

-1 > x

2. Fall

(x+4) < 0 => x<-4

(x-1)² (x+4) > 0 I :(x+4)

Fall 2a)

(x-1)² < 0 I +√

x-1 < 0 I +1

x < 1

Fall 2b)

(x-1)² < 0 I -√

-x-1 > 0 I +x

-1 > x

Ich bin mir nicht sicher ob ich die negative Wurzel richtig gezogen habe, oder ob sich beim ziehen der negativen Wurzel alle Vorzeichen, also auch das -1 ändern.

Wie bringe ich dann die Ergebnisse zu einem zusammen? 

Allgemein würde ich gerne wissen, wann ich eine Fallunterscheidung in der Fallunterscheidung machen muss, immernoch wenn die Potenz gerade ist? Bei einer anderen Aufgabe, bei der ich die dritte Wurzel gezogen habe, hat alles auch ohne weitere Fallunterscheidung geklappt.

 

Danke und einen schönen Tag

Comments

Nur mal zu

 

(x-1)² < 0 I -√

-x-1 > 0 I +x

-1 > x

das darfst und sollst du nicht so machen.

Betrachte:

(x-1)^2 < 0 

Du hast hier linkst ein Quadrat und rechts 0. 

Ein Quadrat kann nie kleiner als 0 sein. Daher fällt dieser Fall weg. 

PS. Bitte keine Unterstreichungen (fett genügt), die bringe ich nur mit Zwischenspeichern wieder weg.

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Soll heißen, dass dieser Fehler auch das Gesamtergebnis verfälschen würde? 

Wann genau mache ich denn eine Fallunterscheidung wenn ich eine Wurzel ziehe? Kann ich also nie eine negative Wurzel bei einer Ungleichung ziehen oder gilt das nur für ²?

 

Danke 

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Ich habe deine Antwort gerade gelesen. Wenn ich das so wie du nun nicht auf Anhieb sehe und es rechnerisch lösen muss, wäre dann meine Vorgehensweise die richtige? Bis auf den Fehler das ich die negative Wurzel aus einem ² gezogen habe?

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Wann genau mache ich denn eine Fallunterscheidung wenn ich eine Wurzel ziehe? 

Da gibt es viele Möglichkeiten.

Bsp. (x-4)^2 > 25

==> 

Fall x > 4

x-4 > 5 

oder 

Fall x < 4....

Wenn rechts gleich 0 steht, braucht es das aber nicht.

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Wenn du zu Beginn nicht gleich 0 hast, ist ausmultiplizieren und dann alles auf eine Seite bringen und eventuell wieder faktorisieren oft schneller.

 (x-4)² > 25

x^2 - 8x + 16 > 25

x^2 -8x -9 > 0             |faktorisieren

(x-9)(x+1) > 0

Nun beide Faktoren > 0 für (x> 9 und x >-1) also für x>9

Beide Faktoren < 0 für (x<9 und x< -1) also für x< -1.

L = {x | x< -1 oder x >9 }

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Danke, spielt da die Höhe der Potenz keine Rolle?

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Doch gerade Potenzen können nie etwas negatives geben. Faktorisieren ist einfacher, wenn die Potenzen nicht zu gross sind.

Am besten ist, wenn du 'im Kopf siehst,' wie der der Graph deines Produkts im Koordinatensystem aussieht. Dann kannst du erst  die Gleichung lösen und danach die Fallunterscheidung gemäss Graph zu L zusammenbasteln.
Dein Beispiel

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x-1%29%5E2+%28x%2B4%29+%3E+0

Hier noch eine Abwandlung von deinem Beispiel mit einer Faktorisierung:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x-1%29%5E2+%28x%2B4%29+%3E+4

Answer 1

 (x-1)² (x+4) > 0

Ein Produkt ist grösser als 0, wenn beide Faktoren pos. oder beide neg. sind.

Der erste Faktor ist immer ≥ 0. (x = 1 ist auszuschliessen)

Daher muss der 2. Faktor > 0 sein.

x+4 > 0 ==> x > - 4

L = {x | x > - 4  , x ≠ 1 }