Matrizengleichung umstellen: Bestimmen Sie die Matrix, die die Gleichung löst

Question

Matrizen:

Gegeben sei die Matrix

\( A=\left(\begin{array}{lll} 1 & -3 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{array}\right) \)

a) Prüfen Sie, ob diese Matrix invertierbar ist.

b) Bestimmen Sie die Matrix \( X \), die die Gleichung \( A^{-1} X=A+A^{-1} \) löst.

Lösung:

b) Hier empfiehlt es sich, zunächst nach \( X \) aufzulösen; hierzu multipliziere ich beide Seiten der gegebenen Gleichung von links mit \( A \) und erhalte:

\( A \cdot A^{-1} X=A\left(A+A^{-1}\right) \)

also

\( X=A^{2}+I . \)

Ansatz/Problem:

Bei Aufgabe b verstehe ich nicht wie er die Formel umstellt. Wieso multipliziert er auf beiden Seiten das A?

Comments

Multiplizieren kann auch auf beiden Seiten alles mögliche, solange es das gleiche ist.

Hier: Damit er seine Matrix X bekommt.

Answer 1

Hi,

Die Matrix A ist invertierbar, weil die det(A)=-1 ist, also ungleich Null ist. Damit existiert A^-1. Wie man die Matrix berechnet ist ja in der Hilfestellung angegeben, in dem die Gleichung von links mit A multipliziert. Damit ergibt sich X zu X=A²+I=$$ \left(\begin {matrix} -7 & 3 & -3 \\ -2 & -6 & -2 \\ -5 & 1 &-1 \end {matrix}\right)$$