Lösen einer Komplexen Gleichung (z+1)^3=i

Question

(z+1)^3=i

das ist meine frage, hat jemand dazu eine lösung mit einer anschaulichen erklärung? ich habe das gefühl, dass ich gerade dermaßen auf dem schlauch stehe und es an und für sich nicht so schwer sein kann.

LG

Answer 1

Hi,

nutze die Polardarstellung.

Es sollte bekannt sein, dass e^{iπ/2} = i ist.

 

(z+1)^3 = e^{iπ/2}    |dritte Wurzel

z+1 = (e^{iπ/2+2kπi})^{1/3} , wobei k = 0,1,2

 

z₁ = (e^{iπ/2})^{1/3} -1 = e^{iπ/6} -1

z₂ = (e^{iπ/2+2πi})^{1/3} -1 = e^{iπ/6 + 2/3*πi} -1 = e^{5/6*πi} -1

z₃ = (e^{iπ/2+4πi})^{1/3} -1 = e^{iπ/6 + 4/3*πi} -1 = e^{3/2*πi} -1

 

Das kann man nun natürlich wieder kartesisch ausdrücken. Das ist bei z₃ auch sofort ersichtlich (denke ich):

z₃ = -i-1

Die anderen sehen aber so besser aus als kartesisch ;). Kannst ja, wenn gebraucht selbst umrechnen?!

 

Grüße

Comments

ach super! vielen dank!!

habs dann nochmal mit der anderen formel nachgerechnet
(w=r*(cos((β/n)+l*(2π/n))+i*sin((β/n)+l*(2π/n))

passt jetzt, schönen abend noch