Bestimmen Sie alle Lösungen der komplexen Gleichung z^3 = i

Question

Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung

z³ = i

Answer 1

Hi,

Weltbekannt ist

-1 = e^πi

Leicht abzuleiten ist dann

i = e^πi/2

 

Folglich

z³ = i

z³ = e^πi/2

z₁ = e^i(π/2)/3 = e^πi/6

z₂ = e^{i(π/2+2π)/3} = e^5πi/6

z₃ = e^{i(π/2+4π)/3} = e^3πi/2 = -i

 

Alternativ:

z^3 = i

z^3-i = 0                    |Polynomdivison mit (z+i), da z = -i leicht ersichtlich

(z+i)(z^2-iz-1) = 0

...

das noch lösen und man bekommt relativ leicht die Antwort in der Form z = a+bi, falls gewünscht.

 

Grüße

Comments

@Unknown: Ich lese hier z^3 = i      |imaginäre Einheit; nicht 1.

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Oh danke. Da hatte ich mich so auf die 1 gefreut...^^

Ist korrigiert.

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Danke für die Schnelle Lösung

doch eine frage hab ich noch, ich verstehe zwar WARUM man |Polynomdivison mit (z+i) durchführt, aber nicht WIE man drauf kommt.

bitte um Aufklärung.

DANKE!!

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(z^3                      -i):(z+i) = z^2-iz-1
-(z^3+iz^2)
_________
         -iz^2
      -(-iz^2+z)
      ________
                  -z-i
               -(-z-i)
            ______
                     0

Oder habe ich das "Wie" falsch verstanden? ;)

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Das was Sie kommentiert haben ist das "Warum." :)

z3-i = 0  wenn ich so eine zeile vor mir habe, WIE komm ich dann darauf es mit (z+i) zu dividieren. Nach dem man es getan hat, macht es ja völlig Sin. aber warum nicht 5z+2i oder so?

ich hoffe ich konnte mich verständlich ausdrücken . :D

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Nun. Eine Polynomdivision macht man normalerweise, wenn man eine Nullstelle bereits kennt oder leicht erraten kann.

Hier kann man z = -i recht gut raten und deshalb die Polynomdivision durchführen ;).

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oky  jetzt verstehe ich.

(z+i)(z2-iz-1) = 0

=>   z₁ = -i

muss ich dann um z2 und z3 herauszufinden die pq Formel anwenden?

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So ist es ;).

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Die Frage ist nur noch, ob ihr hier Polynomdivision und nicht die Polarform der komplexen Zahlen üben sollt. (1. Teil von Unknowns Antwort). Das geht doch bei 'Wurzeln' schneller und ist üblicher.

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wie sieht es denn aus wenn die Aufgabe  z⁴ = i lauten würde?

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Schau am besten bei den ähnlichen Fragen (unten): https://www.mathelounge.de/78513/losen-die-folgenden-gleichungen-bereich-komplexen-zahlen

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Ah oky , die habe ich nicht gesehen

danke dir