Komplexe Nullstellen von z^4-z^3+3z-3. Dritte Wurzeln aus (-3).

Question

Ich habe die aufgabe die komplexen und realen Nullstellen von z⁴-z³+3z-3 zu finden.

Durch Raten 1.Nst z₁=1

Nun habe ich die Polynomdivision mit (z-1) durchgeführt und kam auf z³+3

Also ist die nächste Nullstelle z₂=³√(-3)

Nach der Lösung ist dies eine Komplexe Nst. warum?

Desweiteren verstehe ich nicht wie daraus auf die Nst.

z₃=³ √(3) *1/2 + (i* ³√(3)) * (√(3)/2)

  z₄=³ √(3) *1/2 - (i* ³√(3)) * (√(3)/2)

geschlossen werden kann.

Comments

³√(-3) = -(³√(3)) ist sogar eine reelle Nullstelle!

Dividiere den Linearfaktor heraus.

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Okay dann muss es nur ein Fehler in der Lösung sein da wird ³√(-3) explizit als Komplexe Nullstelle angegeben, dass hatte mich verwirrt.

Jetzt  habe ich nochmal Polynomdivision angwewndet und komme auf z² -z ³√3 +3^2/3
Nach der pq-Formel ist dies

³√(3/2) ± √( (( ³√3)/2)² - 3^2/3 )

Wie formt man das jetzt um, damit man auf die Form von z.B z₃=³ √(3) *1/2 + (i* ³√(3)) * (√(3)/2)  kommt?
Ich komme auf

 ³ √(3) *1/2 + ³ √(3^2/3 *(1/2)² -3^2/3  )

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Wurzelziehen in den komplexen Zahlen geht am besten mit Polarkoordinaten. Sind die bekannt?

P.S. Es heißt reelle Nullstellen, nicht real.

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z^3 = -3 hat in C 3 Lösungen, die sog. 3. Wurzeln.

Am einfachsten bestimmt man die in der Polardarstellung.

z^3 = -3 = 3*e^{iπ}

z1 = ³√3 * e^{iπ/3}

z2 = ³√3 * e^{iπ/3 + 2iπ/3} 

z3 = ³√3 * e^{iπ/3 + 4iπ/3} 

Nun kannst du diese 3 Resultate wieder auf die Form a+ib bringen, falls verlangt.

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Zitat: "Okay dann muss es nur ein Fehler in der Lösung sein da wird ³√(-3) explizit als Komplexe Nullstelle angegeben, dass hatte mich verwirrt."

Reelle Nullstellen sind auch komplexe Nullstellen, insofern ist das noch kein Fehler in der Lösung und die Lösung widerspricht nicht meiner Aussage.

Answer 1

z^2 - 3^{1/3}·z + 3^{2/3} = 0

z = 3^{1/3}/2 ± √((3^{1/3}/2)^2 - 3^{2/3})

z = 3^{1/3}/2 ± √(- 3^{5/3}/4)

z = 3^{1/3}/2 ± 3^{5/6}/2·i

Answer 2

Hi,

nach der Polynomdivision ergibt sich \( \frac{z^3+3}{z-\sqrt[3]{-3}}=z^2++z\sqrt[3]{-3}+\sqrt[3]{\left(-3\right)^2} \)

Du hattest ja als Ergebnis eine Gleichung dritten Grades, die man ja gar nicht mit der pq-Formel lösen kann.