Komplexe Zahlen-sämtliche Lösungen von z^3 = i

Question

Wie komme ich darauf?

\( \begin{aligned} \mathrm{z}^{3}=\mathrm{i}=1 \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2} \mathrm{i}} & \Rightarrow \mathrm{z}_{0}=\mathrm{e}^{\frac{\pi}{6} \mathrm{i}}=\frac{1}{2} \sqrt{3}+\frac{1}{2} \mathrm{i} \\ \mathrm{z}_{1} &=\mathrm{e}^{\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi}{3}\right) \mathrm{i}}=\mathrm{e}^{\frac{5 \pi}{6} \mathrm{i}}=-\frac{1}{2} \sqrt{3}+\frac{1}{2} \mathrm{i} \quad \mathrm{z}_{2}=\mathrm{e}^{\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi}{3}\right) \mathrm{i}}=\mathrm{e}^{\frac{3 \pi}{2} \mathrm{i}}=-\mathrm{i} \end{aligned} \)

Gibt es da irgendwelche Formeln?

Habe gerade das hier gefunden: https://www.mathelounge.de/44320/zeige-die-gleichung-z-hat-losungen-von-denen-keine-reell-ist Aber ich verstehe es trotzdem nicht.

Answer 1

Hi,

so ist es. Dafür gibt es eine Formel:

wurzel-1.pdf (0,9 MB) (siehe Folie 1-3).

Oder auch hier:

Radizieren der n-ten Wurzel einer komplexen Zahl

Wenn man aus einer komplexen Zahl z die n-te Wurzel ziehen will, dann gilt folgende Formel:

\( \sqrt[n]{z} = [n]\sqrt{r}\left[\cos \left(\frac{\alpha}{n}+k \frac{2 \pi}{n}\right)+i \sin \left(\frac{\alpha}{n}+k \frac{2 \pi}{n}\right)\right] \)

mit \( k = 0,1,2,3,\ldots,n-1 \).

Man geht folgendermaßen vor:
- Rechnung in trigonometrischer Schreibweise
- Ziehen der n-ten Wurzel aus dem Betrag
- Dividieren des Argumentes durch die Potenz n ( + die Division von 2πk durch n )

Diese Regeln gelten auch, wenn man lieber mit in der Exponentialform rechnet:
\( z^{n}=\sqrt[n]{r} e^{i \frac{\phi}{n}} \) mit \( \phi=\alpha+2 \pi k \)

Beim Radizieren einer komplexen Zahl erhält man dabei, anders, wie bei der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, kein eindeutiges Ergebnis. Man erhält n verschiedene Lösungen der Wurzel. Diese Lösungen sind geometrisch betrachtet, die Eckpunkte eines regelmäßigen n-Ecks. Bildet man einen Kreis durch alle n Punkte, hat dieser den Radius des Betrages der komplexen Zahl.

Quelle: http://www.physik-multimedial.de/cvpmm/sle/komplexzahl/wurzelimgc.html

Grüße

Comments

Ich verstehe es trotzdem noch nicht so recht. Irgendwie fehlt mir noch was. Gibt es irgendwo ein Beispiel das genau meine Form hat?

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Du solltest in der Lage sein die Vorgehensweise zu übertragen Oo! Das wird sonst in der Zukunft recht schwierig!

Hab gerade noch das hier gefunden:

Aus Euler folgt: \( z=∣z∣e^{iφ} \) und \( i=e^{i(\frac{\pi}{2}+2kπ)}, k∈{0,1,2} \).
Jetzt kannst du beides gleichsetzen und nach φ(k) umformen und anschließend jeweils in die Polarform einsetzen.

(...)

\( i=0+1 \cdot i \)
Ist \( z=a+i \cdot b, \) so gilt \( r=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \) und \( \cos (\varphi)=\frac{a}{r} \) und \( \sin (\varphi)=\frac{b}{r} \)
Im Beispiel ist \( a=0 \) und \( b=1 \) \( \Rightarrow r=1 \sin (\varphi)=\frac{b}{r}=\frac{1}{1}=1 \Rightarrow \varphi=\frac{\pi}{2}+2 \cdot k \cdot \pi \sin \) periodisch mit Periode \( 2 \cdot \pi \)
also: \( i=1 \cdot e^{i \cdot \frac{\pi}{2}} \)
Wenn wir radizieren, müssen wir auch die weiteren Werte berücksichtigen. \( \sqrt[3]{i}=\sqrt[3]{1} \cdot e^{i \cdot \frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)+2 \cdot k \cdot \pi}{3}} \)
für \( k=0,1,2 \)

Steht nicht vielmehr als bei den obigen Links, aber vielleicht nochmals in anderen Worten und mit obigem Beispiel.

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Also naja ich komme in Mathe eigentlich gut mit. Aber Komplexe Zahlen wollen nicht in mein Kopf.

Hier mal ein Bild, was ist das FI also einmal ist es 0 und bei der Aufgabe drunter PI. Wie komme ich dadrauf. Das Beispiel würde ich verstehen, wenn ich wüsste wie man da auf FI kommt.

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Jetzt stand ich eine Weile auf der Leitung, was Du wohl mit FI meinst^^.

Das ist ein Phi bitte!


Phi ist der arctan von b/a, wobei z = a+bi.


Schau Dir mal das durch: http://mathe-online.fernuni-hagen.de/MIB/HTML/node38.html

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Ja, das war mit schon bewusst. Aber:

Dann heißt es ja im Fall 1:
arctan Phi=1/0 und das gibt es nicht oder?

und im zweiten Fall:
arctan Phi=-8/0 und das gibt es auch nicht.

Deswegen verstehe ich nicht, wie man einmal auf 0 und einmal auf PI kommt.

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Nein, es ist doch

φ = arctan(b/a) und nicht arctan φ.


Somit im ersten Fall ist es arctan(0/1) im zweiten Fall arctan(0/(-8)).

Wie man nun auf 0 bzw. π kommt, siehe hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Von_der_algebraischen_Form_in_die_Polarform

Oder auch durch Überlegung am Schaubild ;).