Grenzwert berechnen: L'Hospital

Question

Für folgende Funktion den Grenzwert berechnen:

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(x^{2} \cdot e^{x}\right)^{\frac{1}{x^{2}+1}} \)

Das ergibt doch den unbestimmten Ausdruck: ∞⁰ was ich dann mit der Formel u(x)^v(x) = e^v(x)*lnu(x) zu 0*∞ umformen muss.

Das wäre dann:

\( e^{\frac{1}{x^{2}+1} \cdot \ln x^{2} e^{x}} \)

was aber doch dann e^0*∞ .

Wie geht es von hier aus weiter? Oder habe ich bisher schon einen Fehler gemacht?

Answer 1

Hi,

$$\lim e^{\frac{\ln(x^2e^x)}{x^2+1}}$$

Das hat doch jetzt die Form \(\frac{\infty}{\infty}\). l'Hospital anwenden:

$$\lim e^{\frac{2+x}{2x^2}} = e^0 = 1$$

Grüße