Grenzwert mit L'Hospital ausrechen

Question

Aufgabe:

Berechne den Grenzwert

$$ \lim\limits_{x\to\ 0} (1+\frac{2}{x})^x $$

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war der hier

$$ e^{x*ln(1+2/x)} = \lim\limits_{x\to\ +0}(\frac{ ln(1+\frac{1}{x} )}{\frac{1}{x}} ) = L'hos \lim\limits_{x\to\ +0}(\frac{ \frac{-2}{x^2+2x}}{\frac{-1}{x^2}} ) = \frac{-2x^2}{x^2+2x} = L'hos (0/0) = \frac{-4x}{2x+2} = \frac{0}{2} = 0 $$

ergibt e^0 = 1.

ich weiß jetzt nicht ob das stimmt und wollte hier mal nachfragen ob es stimmt,und wenn ja ob man vor dem letzten Hospital einfach durch x teilen kann, dann hätte man 2x/2x+2 was auch 0/2 ergeben würde

Comments

Die =-Zeichen sind alle falsch, bis auf das letzte.

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Das vorletzte =-Zeichen ist auch noch richtig.

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Nein, das ist auch falsch.

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Warum sollte \(\dfrac02=0\) falsch sein?

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ob man vor dem letzten Hospital einfach durch x teilen kann

Wenn Du das meinst:

$$\frac{2x^2}{x^2+2x}=\frac{2x}{x+2} \to 0$$

Das ist in Ordnung, weil im 2. Bruch der Zähler gegen 0 geht und der Nenner gegen \(2 \neq 0\)

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Ich glaube @nudger meint

-4x / (2x+2) = 0

Das ist ja falsch.

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@arsinoe ich bezog mich nur auf die lange Zeile mit der Rechnung, hätte ich klarstellen sollen.

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Was sagt denn die Regel vom Lopitall?

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Zur Ableitungskontrolle kannst du diese Seite benutzen:

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 1

Hallo.

Der Grenzwert 1 am Ende ist richtig. Siehe auch nochmal hier:

Quelle: Geogebra

Jedoch kann ich deinen Rechenweg nicht ganz. erkennen. Ich denke mal du hast es aber richtig gemeint.

Hier nochmal von mir sauber aufgeschrieben:

Da exp: |R —> (0,inf), exp(x) := e^x stetig ist, gilt also mit der Regel von L‘Hospital :

lim (1+2/x)^x = lim exp(ln(1+2/x)^x)

= lim exp(x ln(1+2/x))

= lim exp( [ln(1+2/x) / (1/x)] )

= exp( lim [ln(1+2/x) / (1/x)])

= exp( lim 2 / (1+2/x)) = exp(0) = 1.

Hierbei gilt lim 2 / (1+2/x)) = 0 für x —> 0 wegen der Abschätzung 2 / (1+2/x) < 2/(2/x) = x für alle x ∈ |R \ {0} & lim x = 0 für x —> 0.

Comments

Sauber ist das auch nicht, weil man lim erst schreiben darf, wenn die Konvergenz gesichert ist.

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Es geht hier aber nicht darum. In dem Falle soll der FS den Grenzwert ausrechnen, wo ihm also schon vorgegeben wird, das der existiert. Ich finde dein Kommentar gerade unpassend.

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txman: Wie kommt das drittletzte Gleichheitszeichen in Deiner Rechenkette zustande? Fehlt eventuell eine 2?

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@Txman es geht um alle auftretenden Grenzwerte.

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@Mathhilf Hast Recht. Ist korrigiert. Danke!

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Danke für die Antwort. Ja, ich habe es nicht ganz sauber aufgeschrieben, aber welche Rechnung meinst du genau?

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Du hast da unten eine Gleichheitskette veröffentlicht.

Bei der kann ja schon die erste Gleichheit, so wie es da steht, nicht stimmen.

Answer 2

Hier mal noch schnell ein anderer Weg basierend auf \(\lim_{x\to0^+}x^x = 1\), was man auch schnell via Logarithmus und L'Hospital zeigen kann.

$$1\leq (1+\frac 2x)^x \stackrel{x<2}{<}(\frac 2x+\frac 2x)^x= \frac{4^x}{x^x}\stackrel{x\to 0^+}{\longrightarrow}\frac 11 = 1$$

Comments

Warum das kleinergleich am Anfang, wenn der Audruck doch immer echtgrösser als die 1 ist?!

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Sandwich-Theorem. Und nur weil DU eine Antwort nicht verstehst, ist sie nicht zwangsläufig unvollständig. Es gibt hier auch noch Helfer, die verlangen, dass man über die Antwort nachdenkt.

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@TanjaTahl
Gegenfrage: Warum sollte an der von dir monierten Stelle \(\leq\) nicht stehen?

Ich hoffe, dir ist klar, dass ein Ausdruck wie \(g(x) \leq h(x)\) nicht bedeutet, dass für irgendein \(x\) die Gleichung \(g(x)=h(x)\) gelten muss.

Bei der Anwendung des Einschließungssatzes (auch Sandwich-Theorem genannt) spielt es in der einschließenden Ungleichungskette keine Rolle, ob dort \(<\) oder \(\leq\) steht, solange die einschließenden Funktionen denselben Grenzwert haben.