Bestimme mit den Regeln von L'Hospital den folgenden Grenzwert x^sin(x)

Question

Bestimme mit den Regeln von L'Hospital den folgenden Grenzwert

\( \lim\limits_{x\to\ 0+ } \)  x^sin(x)

Ich komm bei der Aufgabe nicht wirklich weiter.. ich hab's mit Umformen versucht, bin aber bei x^sin(x) = e^{sin(x) * ln(x)} hängen geblieben. Würde mich über Lösungsvorschläge freuen.

Comments

Verwende:

sinx*lnx = sinx/(1/lnx) = sinx/(lnx)^-1

oder: lnx/(sinx)^-1

Answer 1

Aloha :)

Wir formen zunächst den Grenzwertling (nennt man den so?) um:$$\ell\coloneqq\lim\limits_{x\searrow0}x^{\sin(x)}=\lim\limits_{x\searrow0}e^{\ln\left(x^{\sin(x)}\right)}=\lim\limits_{x\searrow0}e^{\sin(x)\ln(x)}$$

und überlegen uns den Grenzwert des Exponenten mit Hilfe von L'Hospital \((\ast)\):$$\phantom=\lim\limits_{x\searrow0}\left(\sin(x)\ln(x)\right)=\lim\limits_{x\searrow0}\frac{\ln(x)}{\frac{1}{\sin(x)}}\stackrel{(\ast)}{=}\lim\limits_{x\searrow0}\frac{\frac1x}{\frac{-\cos(x)}{\sin^2(x)}}=-\lim\limits_{x\searrow0}\frac{\sin^2(x)}{x\cos(x)}$$$$=-\lim\limits_{x\searrow0}\frac{\sin(x)\tan(x)}{x}\stackrel{(\ast)}{=}-\lim\limits_{x\searrow0}\frac{\cos(x)\tan(x)+\sin(x)(1+\tan^2(x))}{1}=0$$

Damit haben wir den gesuchten Grenzwert gefunden:$$\ell=\lim\limits_{x\searrow0}e^{\sin(x)\ln(x)}=e^{\lim\limits_{x\searrow0}\left(\sin(x)\ln(x)\right)}=e^0=1$$

Answer 2

gelöschttttttttttttttttttttttt