Aloha :)
Wir formen zunächst den Grenzwertling (nennt man den so?) um:$$\ell\coloneqq\lim\limits_{x\searrow0}x^{\sin(x)}=\lim\limits_{x\searrow0}e^{\ln\left(x^{\sin(x)}\right)}=\lim\limits_{x\searrow0}e^{\sin(x)\ln(x)}$$
und überlegen uns den Grenzwert des Exponenten mit Hilfe von L'Hospital \((\ast)\):$$\phantom=\lim\limits_{x\searrow0}\left(\sin(x)\ln(x)\right)=\lim\limits_{x\searrow0}\frac{\ln(x)}{\frac{1}{\sin(x)}}\stackrel{(\ast)}{=}\lim\limits_{x\searrow0}\frac{\frac1x}{\frac{-\cos(x)}{\sin^2(x)}}=-\lim\limits_{x\searrow0}\frac{\sin^2(x)}{x\cos(x)}$$$$=-\lim\limits_{x\searrow0}\frac{\sin(x)\tan(x)}{x}\stackrel{(\ast)}{=}-\lim\limits_{x\searrow0}\frac{\cos(x)\tan(x)+\sin(x)(1+\tan^2(x))}{1}=0$$
Damit haben wir den gesuchten Grenzwert gefunden:$$\ell=\lim\limits_{x\searrow0}e^{\sin(x)\ln(x)}=e^{\lim\limits_{x\searrow0}\left(\sin(x)\ln(x)\right)}=e^0=1$$
