Bestimmte Tangente an Graph f(x) = 1/(x-1)^3 zuordnen

Question

Wir betrachten die Funktion(1, ∞) --> R

 

f(x)= 1/ (x-1)³.

 

Für welche c ∈ (1, ∞) ist - 3x + C eine Tangente an den Graphen von f?

Answer 1

Hi,

 

Nutze die Quotientenregel und leite ab:

 

f'(x) = -3/(x-1)^4

 

Nun bist Du an Tangenten der Form -3x+C interessiert. Das bedeutet nichts anderes, als dass Du die Steigung m = -3 und damit f'(x) = -3 suchst.

Das ist der Fall wenn:

 

-3/(x-1)^4 = -3   |*(x-1)^4   :(-3)

(x-1)^4 = 1         |Vierte Wurzel (doppelte Vorzeichen beachten)

x-1 = ±1

x₁ = 0

x₂ = 2

 

Die Stellen nun in f(x) eingesetzt.

 

f(0) = -1

f(2) = 1

 

Wir haben also die Punkte P(0|-1) und Q(2|1) mit der Steigung -3.

 

Punkte in die Tangente einsetzen um C zu errechnen.

P(0|-1):

-1 = c

-> Nicht im Definitionsbereich von C.

 

Q(2|1):

1 = -3*2 + c  |+6

c = 7

 

Die gesuchte Tangente lautet y = -3x+7

 

Grüße