Geometrie, Viereck, Berechnung

Question

Geometrie, Viereck: Entscheide durch Rechnung ohne zu zeichnen: a) Um welches besondere Viereck, handelt es sich bei ABCD mit A (5/7) B (3/3) C (7/5) und D (7/7)? b) D kannst leicht überprüfen, dass die Seiten des Vierecks ABCD mit A(3/1) B (0/2) C (-1/-1) und D (2/-2) alle gleich lang sind. Damit ist ABCD eine Raute, aber ist es auch ein Quadrat?    vielen Dank und viele Grüße

Answer 1

zu a) Vektoren bilden, die die Seiten des Vierecks ausmachen und ihre Beträge ausrechen.

Vektor(AB) = (3/3) - (5/7) = (-2/-4), Betrag von Vektor(AB) = √((-2)² + (-4)²)) = √20

Vektor(BC) = (7/5) - (3/3) = (4/2), Betrag von Vektor(AB) = √(4² + 2²) = √20

Vektor(DC) = (7/5) - (7/7) = (0/-2), Betrag von Vektor(AB) = √((-2)² + 0²) = 2

Vektor(AD) = (7/7) - (5/7) = (2/0), Betrag von Vektor(AB) = √(2² + 0²) = 2

Daraus folgt:

- Keine Parallelität zwischen den Vektoren AB, BC, DC und AD vorliegt (die vorgenannten Vektoren sind nicht linear)

-  Es gibt zwei Paare, die gleich lange benachbarte Seiten besitzen.

-> Drachenviereck

zu b) Quadrat bedeutet, dass alle Seiten gleich lang und die gegenüberliegenden Seiten parallel sind.

Vektor(AB) = (0/2) - (3/1) = (-3/1), Betrag von Vektor(AB) = √((-3)² + 1²) = √10

Vektor(BC) = (-1/-1) - (0/2) = (-1/-3), Betrag von Vektor(AB) = √((-1)² + (-3)²) = √10

Vektor(DC) = (-1/-1) - (2/-2) = (-3/1), Betrag von Vektor(AB) = √((-3)² + 1²) = √10

Vektor(AD) = (2/-2) - (3/1) = (-1/-3), Betrag von Vektor(AB) = √((-1)² + (-3)²) = √10

Die Vektoren AB und DC bzw. BC und AD sind wegen ihrer Linearität parallel. Somit sind die gegenüberliegenden Seiten des Vierecks parallel. Zudem sind alle Seite gleich lang. Demnach liegt ein Quadrat vor.

Könnte man auch noch mit dem Skalarprodukt absichern, indem man beweist, dass in allen vier Eckpunkte ein Winkel von 90° vorliegt.