Grenzwerte berechnen: x → unendlich für x^2 - x - 12 / x^2 -4x

Question

Beschäftige mich mit Grenzwerten und wollte von euch die Lösungen dieser Funktionen:

1) x → unendlich für x^2 - x - 12 / x^2 -4x

2) x → -3 für x^2 - x - 12 / x+3

3) x → -1 für x^4 - x^2 / x^2 - 1

Answer 1

Ich benutze mal meine wenig ausgeprägte Fantasie .-)

1)  f(x) = (x² - x - 12) / (x² -4x)

    lim f(x) für x -> oo ?

   Hier im Zähler und im Nenner den Term mit dem höchsten Exponenten ausklammern: f(x) = x²(1 - 1/x - 12/x²) / (x²(1 -4/x)) = (1 - 1/x - 12/x²) / (1 -4/x); wenn wir hier x gegen oo laufen lassen, ergibt sich ein Grenzwert von 1

2) f(x) = (x² - x - 12) / (x+3)  hier könnte man untersuchen, welche Nullstellen der Zähler hat. Pq-Formel liefert als Nullstellen 4 und -3. Somit kann man  (x² - x - 12) durch (x -4)*(x +3) ersetzen. -> f(x) = (x -4)*(x +3)/ (x+3) = (x - 4); wenn wir hier x gegen -3 laufen lassen, ergibt sich ein Grenzwert von -7

3)  f(x) = (x⁴ - x² )/ (x² - 1) = x²(x² -1)/(x² - 1) = x²; wenn wir hier x gegen -1 laufen lassen, ergibt sich ein Grenzwert von 1

Answer 2

Vorbemerkung:

Bei weiteren Fragen und Antworten solltest du bei der Angabe von Brüchen durch geeignete Klammerung dafür sorgen, dass klar ist, was zum Zähler und was zum Nenner gehören soll.

So müsste z.B. der von dir genannte Term

x² - x - 12 / x² -4 x

aufgrund der Regel Punkt- vor Strichrechnung so interpretiert werden:

x² - x - ( 12 / x² )  -4 x

obwohl du sicherlich

( x² - x - 12 ) / ( x² -4x  )

gemeint hast.

 

Nun zu deinen Aufgaben:

1)

lim_{x -> oo} ( x² - x - 12 ) / ( x² -4x  )

Dividiere Zähler und Nenner durch die größte im Nenner auftretende Potenz von x, hier also durch x ²:

= lim_{x -> oo} ( 1 - ( 1 / x )  - ( 12  / x ² ) ) / ( 1 -( 4 / x ) )

Die Brüche gehen für x -> oo alle gegen Null, es verbleibt:

= lim_{x -> oo}  1 / 1

= 1

 

2)

lim_{x -> - 3} ( x² - x - 12 ) / ( x + 3 )

L'Hospital- Typ "0/0", also Ableitungen von Zähler und Nenner bilden:

= lim_{x- > - 3} ( 2 x - 1 ) /  1

= - 7

 

3)

lim_{x -> - 1}  ( x⁴ - x² ) / ( x² - 1 )

Im Zähler lässt sich zunächst x ² ausklammern:

= lim_{x -> - 1}  x ² ( x ² - 1 ) / ( x² - 1 )

und nun lässt sich der Bruch mit ( x ² - 1 ) kürzen:

= lim_{x -> - 1}   x ² 

= 1