Lineare Gleichungssysteme: 3 Lösungsmöglichkeiten angeben

Question

Für welche Werte des Parameters \( \mu \in \mathbf{R} \) hat das folgende Gleichungssystem keine, genau eine oder beliebig viele Lösungen?

\( \begin{array}{r} x_{1}-\mu x_{3}=1 \\ (\mu-2) x_{2}+2 \mu x_{3}=2 \\ 2 x_{1}+(2-\mu) x_{2}-\mu x_{3}=3 \end{array} \)

Geben Sie für die drei Fälle jeweils die Lösungsmengen an.


Lösungen:

Festlegung:
x1=x
x2=y
x3=z
μ=a

a=0

x-az=1
(a-2)y+2az=2
2x+(2-a)y-az=3

x-0*z=1
x=1 |Einsetzen in III

III: 2*1+(2-a)y-az=3
III: 2+(2-0)y-0*z=3
III: 2+2y=3 |y=0,5 Einsetzen in II

II: (0-2)*0,5+2*0*z=2
II: (-1)+0*z=2
-1≠2 → keine Lösung

a=0 Keine Lösung, wenn man für a bzw.μ 0 einsetzt.
a=-1 eine Lösung (?)
a=1 Beliebige Lösungen (?)

Eine Lösung: a=
Keine Lösung: L={}
Beliebige Lösungen:

Answer 1

Hi,

ich würde versuchen das Gleichungssystem auf Zeilens-tufenform zu bringen. Das bringt einen systematischen Ansatz in die Lösung. Durch Multiplikation der 1-ersten Zeile mit -2 und Addition zur 3-ten Zeile und anschließen die 2-te und die dritte Zeile addieren, dann sieht man dass für \( \mu=0 \) und \( \mu=2 \) man eine gesonderte Betrachtung machen muss, weil für diese Werte die Determinate =0 wird und somit keine eindeutige Lösung existiert. Die erweiterte Zeilenstufen Form sieht folgendermaßen aus $$ \left( \begin{matrix} 1 & 0 & -\mu & 1 \\ 0 & \mu-2 & 2\mu & 2 \\ 0 & 0 & \mu & 3\end{matrix} \right) $$
daraus sieht man das es für \( \mu=0 \) und \( \mu=2 \) keine Lösung gibt.

Comments

Kann man in die obere Formel für μ beliebige Zahlen einsetzen, d.h. ist die Formel die du erstellt hast die Voraussetzung um Lösungen bzw. keine Lösungen zu erhalten?

---

Ich habe noch immer keine Antwort erhalten. Vielleicht warst du heute unterwegs. Wenn du mal wieder im Forum eingeloggt bist würde ich mich freuen, wenn du mir bei der noch offen stehende Frage helfen könntest.

---

Hi,

die Zeilenstufenform gilt für jedes \( \mu \). Um lineare Gleichungssysteme zu lösen ist das die allgemeinste Lösungsmethode. An Hand der Zeilenstufenform kannst Du erkennen, ob es genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen gibt. Das Gleichungssystem ist lösbar wenn der Rang von A gleich dem Rang von (A|b), der erweiterten Koeffizienten Matrix ist. Ist der Rang von A = n, dann gibt es eine eindeutige Lösung. In Deinem Fall sieht, wenn \( \mu=0  \) ist, ist der Rang von A = 2 aber der Rang der erweiterten Matrix ist 3. Also gibt es keine Lösung. Im Fall \( \mu=2 \) ist ebenfalls der Rang A = 2 und die der erweiterten Matrix = 3. Der Rang von A = 2, weil bei \( \mu=2  \) die letzten beiden Zeilen linear abhängig werden.

---

Dann ist es das Ziel so viele Nullen in einer Matrix zu haben wie möglich, denn zum Schluss bleibt ein oder mehrere Werte übrig. Im oberen Beispiel gibt es die Variable μ also muss man ein, kein oder unendliche Werte finden. Ich habe im Internet bei Wikipedia das gefunden:https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9F-Jordan-Algorithmus. Also kann man in einer Matrix beliebig addieren und Zeilen multiplizieren, sodass 0 rauskommt. Unten links muss immer 0 rauskommen, ansonsten ist etwas falsch berechnet worden.

---

Hi,

Gauss Jordan ist gut. Das musst Du Dir wirklich verinnerlichen, denn lineare Gleichungssysteme kommen in der Praxis wirklich häufig vor, zumindestens bei mir. Ich weiss ja nicht was Du studierst, aber das kommt wirklich oft vor.

---

Da hast du Recht, wie heißt es so schön: Übung macht den Meister! :-)