Hi,
zuerst muss gesagt werden, dass diese Aussage nur für unabhängige Zufallsvariblen X und Y richtig ist.
Nun zum Beweis, betrachte dazu die diskrete Zufallsvariable Z=X+Y. Die Wahrscheinlichkeit P(Z=z) berechnet sich wie folgt. $$ P(Z=z)=\sum_{x=0}^zP(X=x,X+Y=z)=\sum_{x=0}^zP(X=x,Y=z-x) $$ Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit kann mit Hilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit wie folgt geschrieben werden$$ P(X=x,Y=z-x)=P(X=x)\cdot P(Y=z-x|X=x) $$ Nun folgt aufgrund der Unabhängigkeit von X und Y, das gilt $$ P(Y=z-x|X=x)=P(Y=z-x) $$ Zusammengefasst ergibt sich $$ P(Z=z)=\sum_{x=0}^zP(X=x)\cdot P(Y=z-x)=\sum_{x=0}^z \frac {e^{-\lambda_1}\lambda_1^{x}}{x!} \frac {e^{-\lambda_2}\lambda_2^{z-x}}{(z-x)!} $$ $$=\frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{z!}\sum_{x=0}^z \left( \begin{matrix} z \\ x \end{matrix} \right)\lambda_1^x\lambda_2^{z-x}=e^{-(\lambda_1+\lambda_2)} \frac{\left( \lambda_1+\lambda_2 \right)^z}{z!} $$ Damit ist Z Poisson verteilt mit Paramter \( \lambda_1+\lambda_2 \)
