Stetigkeit und Kompaktheit

Question

Es seien f,g: R^2→R definiert durch

f(x):=sin x1 + e^{x2^2} , g(x):=x1^2 + cos(x2)       (x=(x1,x2)∈R^2).

Zeigen Sie:

a) Die Abbildungen πj: R^2→R, x↦πj(x):=xj sind stetig (j=1,2).

b) f und g sind stetig in R^2

c) Die Menge A :={x∈R^2 : sin x1 + e^{x2^2}=1, x1^2 + cos x2≤2} ist eine abgeschlossene Teilmenge von R^2. Ist A auch kompakt?

Comments

Kann hier keiner helfen?

Ich bräuchte dazu auch eine Erklärung..

Answer 1

A ist abgeschlossen. Denn sei a < n > eine Cauchyfolge, welche diese beiden Identitäten erfüllt:

sin x1 ( n ) + exp x2 ² ( n ) = 1      ( 1 )

Da f stetig ist, ist, bleibt diese Summe auch im Limes gleich Eins; der Grenzpunkt gehört mithin zu A . analog mit der zweiten Ungleichung.

Kompakt heißt: Du musst immer beweisen, dass du deine Menge in einen " Kasten " einsperren kannst. Ganz sicher ist Identität ( 1 ) verletzt für | x2 | = 4 711 und die zweite Ungleichung analog