Stetigkeit aus Kompaktheit folgern

Question

Aufgabe:

Es sei (Z,dZ) ein kompakter metrischer Raum, I ⊂ R ein kompaktes Intervall und f :
I × Z → R stetig. Zeigen Sie:
F : I → R t → max{f(t,z); z ∈ Z}
ist stetig.

Problem/Ansatz:

ich habe absolut keine Ahnung wo ich anfangen soll....

Wäre sehr dankbar für Ideen und Tipps

Answer 1

Das könnte man doch mit dem Folgenkriterium zeigen.

Sei t_n eine beliebige Folge in I mit \( \lim\limits_{n\to\infty} \) t_n = t_{0 .}

Betrachte nun F(t_n ) und zeige \( \lim\limits_{n\to\infty} \) F(t_n) = F(t₀).

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) F(t_n) = \( \lim\limits_{n\to\infty} \)  max (f(t_n,z): z∈Z)

Da alle Folgenglieder von t in I liegen und I eine Kompakte Menge ist und ebenso Z, und f stetig, ex. nach dem Satz von Minimum und Maximum ein Max(f(t,z): z∈Z) für jedes t∈I.

Mithilfe der Stetigkeit von f kann man nun den Grenzwert reinziehen und kommt auf

\( \lim\limits_{n\to\infty} \)  F(t_n)=  max(f(t₀,z) = F(t_o).

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen, bzw. einen Ansatz geben. (Hier müssten noch ein paar Eigenschaften gezeigt werden, z.B. f stetig, d.h. f in jeder Komponente stetig, etc.).

LG Simon