Eine Intervallschachtelung zur Herleitung der Volumenformeln des Kegelvolumens (aus Pyramide)

Question

Aufgabe:

Eine Intervallschachtelung zur Herleitung der Volumenformein

a) Die Bilder zeigen eine Methode zur näherungsweisen Berechnung des Pyramiden- und des Kegelvolumens. Beschreibe das Vorgehen. Auf welche Volumenformeln greift man dabei zurück? Wie lassen sich die Näherungswerte schrittweise verbessern? Wieso kann man von einer Intervallschachtelung sprechen?

b) Berechne die Volumina \( \mathrm{V}_{\text {innen }} \) und \( \mathrm{V}_{\text {außen }} \) der ein- und umbeschriebenen Treppenkorper für \( a=6 \mathrm{~cm}(r=3 \mathrm{~cm}) \) und \( \mathrm{h}=10 \mathrm{~cm} . \) Wie genau kommst du mit dem jeweiligen Mittelwert \( \frac{1}{2} \cdot\left(V_{\text {innen }}+V_{\text {außen }}\right) \) an ein Drittel des Volumens des umbeschriebenen Prismas bzw. Zylinders heran?

Answer 1

Beschreibe das Vorgehen.
Man unterteilt den Körper in gleich hohe Körper durch Schnitte parallel zur Grundfläche. Von jedem Teilkörper bestimmt man ein Intervall in dem das exakte Volumen liegen muss. Dazu bestimmt man das Volumen eines einbeschriebenen und eines umschreibenden Körpers.

Man greift hier auf die Volumenformel von Quader bzw. Zylinder zurück.

Die Näherung lässt sich schrittweise verbessern indem man die Pyramide bzw. den Kegel mit immer mehr Schnitten in mehr kleinere Körper zerteilt.

Mit einer immer größeren Schnittanzahl wird das Intervall aus einbeschriebenen und umbeschriebenen Körpern immer kleiner, sodass für den Grenzwert für die Schnittanzahl gegen Unendlich das exakte Volumen heraus kommt.

Willst du das jetzt mal unter b) für die Pyramide probieren ?