Es müssen jeweils die links- und rechtsseitigen Grenzwerte ermittelt und verglichen werden.
Sind beide Grenzwerte gleich, handelt es sich um eine hebbare Unstetigkeitsstelle.
Sind beide Grenzwerte unterschiedlich aber endlich, handelt es sich um eine Sprungstelle.
Konvergiert genau einer der beiden gegen eine Zahl und der andere gegen ±∞ spricht man von einem unendlichen Sprung oder einer (einseitigen) Polstelle.
Gehen beide Grenzwerte gegen unendlich, dann spricht man von einer Polstelle.
Existiert einer der beiden Grenzwerte nicht, spricht von von einer wesentlichen Singularität.
b) Die Funktion ist unstetig in x=0, weil dort der Zähler gegen -∞ und der Nenner gegen 0±0 geht.
Der Quotient geht betragsmäßig also gegen ∞.
Weil der ln für x<1 immer negativ ist, geht er sowohl im linksseitigen als auch im rechtsseitigen Grenzwert gegen -∞.
Der Nenner geht dagegen im linksseitigen Grenzwert von unten und im rechtsseitigen von oben gegen 0.
Also geht der ganze Bruch im linksseitigen Grenzwert gegen +∞ und im rechtsseitigen gegen -∞.
Es handelt sich um eine "Polstelle mit Vorzeichenwechsel".
c) h(x) = x cot(1/x)
Die Funktion hat mehrere Unstetigkeitsstellen: erstmal ist sie in x=0 unstetig, darauf gehe ich gleich ein.
Außerdem ist sie wegen cot(y) = cos(y)/sin(y) in jeder Nullstelle von sin(y) unstetig. Das sind die Stellen
y = n*π, also
x = 1/y = ±1/(n*π) n = 1, 2, 3, 4, ...
Hier hat die Funktion gemäß dem Verhalten des Cotangens Polstellen mit Vorzeichenwechsel.
Betrachtet man nun den Grenzwert x gegen 0, dann sieht man, dass sich für n gegen Unendlich die Polstellen häufen. Tatsächlich ist x=0 also ein Häufungspunkt von unendlichen Sprüngen, also eine wesentliche Singularität.
Der Grenzwert kann nicht existieren, weil die Funktion umso häufiger gegen unendlich geht, je näher sie an x=0 kommt.
