Löse die Gleichung rechnerisch auf: (2x-1)/(x-2) + 3/(x-2) = (x-2) * (x+2)^{-1}

Question

(2x-1)/(x-2) + 3/(x-2) = (x-2) * (x+2)^-1

 

danke:)

Answer 1

$$\frac { 2x-1 }{ x-2 } +\frac { 3 }{ x-2 } =\frac { (x-2) }{ (x+2) }$$Beide Seiten mit ( x - 2 ) multiplizieren:$$\Leftrightarrow 2x-1+3=\frac { (x-2)(x-2) }{ (x+2) }$$Linke Seite zusammenfassen:$$\Leftrightarrow 2x+2=\frac { (x-2)(x-2) }{ (x+2) }$$Beide Seiten mit ( x + 2 ) multiplizieren:$$\Leftrightarrow (2x+2)(x+2)=(x-2)(x-2)$$Ausmultiplizieren:$$\Leftrightarrow 2{ x }^{ 2 }+6x+4={ x }^{ 2 }-4x+4$$"Alles nach links":$$\Leftrightarrow { x }^{ 2 }+10x={ 0 }$$x ausklammern$$\Leftrightarrow { x(x }+10)={ 0 }$$Satz vom Nullprodukt:Ein Produkt hat genau dann den Wert 0, wenn mindestens einer seiner Faktoren den Wert 0 hat:$$\Leftrightarrow { x=0\quad oder\quad x=-10 }$$

Answer 2

D = R\ {2, -2}

(2x-1)/(x-2) + 3/(x-2) = (x-2) * (x+2)^-1     | Brüche links addieren

(2x+2)/(x-2)= (x-2) * (x+2)^-1               |*Hauptnenner (x-2)(x+2)

(2x+2)(x+2) = (x-2)^2

2x^2 + 4x + 2x + 4 = x^2 - 4x + 4

x^2 + 10x = 0

x(x+10) = 0

x1 = 0

x2 = -10

Kontrolle

(2x-1)/(x-2) + 3/(x-2) = (x-2) * (x+2)^-1

x=0

(-1)/(-2) + 3/(-2) = (-2) * (2)^-1 

1/2 - 3/2 = -1 stimmt

x = -10

(-20-1)/(-10-2) + 3/(-10-2) =?= (-10-2) * (-10+2)^-1    = -12/-8 = 1.5

(-20-1)/(-10-2) + 3/(-10-2)= -21/-12 + 3/-12 = -18/-12 = 1.5 stimmt