Nullfolgen und Unendlichfolgen

Question

Aufgaben:

1.) Für Folgen an aus den komplexen Zahlen (Hier jetzt als C notiert) gilt:

an ist eine Nullfolge in C <=> |an| ist eine Nullfolge in den reellen Zahlen

<=> (Re an) und (Im an) sind Nullfolgen in den reellen Zahlen


2.) Für Folgen an mit an>0 gilt für fast alle n aus N:

an ist eine Unendlichfolge <=> (1/an) ist eine Nullfolge


3.) Zeigen Sie, dass

an := (1/3te Wurzel aus n^2+z^2) für alle n aus N eine Nullfolge

bn := (1^2+2^2+ ... + n^2/n^2) für alle n aus N eine Unendlichfolge (hier soll man den Zähler irgendwie faktorisieren)

cn := 1/2 -n/2 + (1+2+ ... + n/n+2) für alle n aus N eine Nullfolge

ist.


Meine Ideen:

Bei 1.) Hätte ich jetzt nur sagen können, dass C teilmenge von R ist und das deswegen gelten muss. Also, ich verstehe zwar, warum das alles so sein soll, aber ich weiß nicht, wie ich das aufschreiben muss.

Bei 2.) darf ich ja sagen, dass |an|<Epsilon. Zusätzlich darf ich ja Epsilon wählen: Epsilon = 1/K, mit K > 0

Daraus folgt, dass |an|<Epsilon = 1/K  <=> |1/an| > 1/Epsilon = K

Reicht das?

3. finde ich schwierig. Also beim ersten würde ich jetzt |an-0|<Epsilon sein soll und dann nach n auflösen, aber dann kriege ich etwas komisches raus: 1/Wurzel aus Epsilon^3 - z = n.

Bei den anderen beiden komme ich gar nicht weiter (bei bn wusste ich nicht einmal, dass es eine Unendlichfolge ist, ich dachte, dass sie gegen 1 konvergiert)

Answer 1

Zu 1:

Wenn \( a_n \in \mathbb C \) eine Nullfolge ist, gilt \( |a_n-0|=|a_n| \lt \epsilon \) für alle \( \epsilon \gt 0 \) und alle
\( n \gt N \)

Es gilt aber \( |Re(a_n)| \le \sqrt{Re(a_n)^2+Im(a_n)^2} = |a_n| \lt \epsilon \) also ist auch \( Re(a_n) \) eine Nullfolge. Die gleiche Argumentation geht mit dem Imaginärteil der Folge.

Um zu zeigen das \( |a_n| \) eine Nullfolge ist, muss gezeigt werden \( | |a_n|-0|=||a_n||=|a_n| \lt \epsilon \) was ja gilt, wenn \( a_n \) eine Nullfolge ist.

Umgekehrt gilt, wenn \( Re(a_n) \) und \( Im(a_n) \) Nullfolgen sind, gilt \( |a_n|=\sqrt{Re(a_n)^2+Im(a_n)^2} \lt |Re(a_n)|+|Im(b_n)| \lt \epsilon \) weil Real- und Imaginärteil von \( a_n \) jeweils Nullfolgen sind. Z.B ist \( |Re(a_n)| \lt \frac{\epsilon}{2} \) und das gleiche gilt für den Imaginärteil. Dann ist die Su7mme \( \lt \epsilon \).

Ist \( |a_n| \) eine Nullfolge dann gilt \( ||a_n|-0|=|a_n| \lt \epsilon \) also ist \( a_n \) eine Nullfolge.

Da ich alles während der Arbeit schreibe, kommt der Rest demnächst, wenn ich wieder Zeit habe.

Zu 2:

Wenn \( a_n \) eine unendlich Folge ist, gilt \( |a_n| \gt C \) für ein beliebiges \( C \gt 0 \) für \( n \gt N \) Wähle C so, dass gitl \( \frac{1}{C} \lt \epsilon \) dann folgt \( \left| \frac{1}{a_n} \right| \lt \epsilon \) Also ist \( \frac{1}{a_n} \) eine Nullfolge.

Ist \( \frac{1}{a_n} \) eine Nullfolge, dann gilt für ein beliebiges \( \epsilon \gt 0 \) das \( \left| \frac{1}{a_n} \right| \lt \epsilon \) gilt. Wähle \( \epsilon \lt \frac{1}{C} \) dann folgt, \( |a_n| \gt C \) und somit \( a_n \) eine Unendlichfolge.

Zu 3:

Die Folge \( b_n=\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{1}{n^2}\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)=\frac{1}{6}(1+\frac{1}{n})(2n+1) \) Der erste Term ist konstant, der zweite geht gegen 1 und der dritte wächst beliebig, also ist \( b_n \) eine Unendlichfolge.

Wenn \( c_n=\frac{1}{2}-\frac{n}{2}+\frac{1}{n+2} \sum_{k=1}^nk=\frac{1-n}{2}+\frac{n(n+1)}{2(n+2)}=\frac{1}{n+2} \) und das ist eine Nullfolge.

Und wieder gilt, der Rest kommt nachher.

Wenn die Folge so aussieht \( \frac{1}{\sqrt{n^2+z^2}^{ \frac{ 1 }{3 } }} \) kann man \( n^2 \) ausklammern. Der verbleibenden Term in der Wurzel geht gegen 1 und der ausgeklammerte Term im Nenner geht gegen unendlich und somit geht die Folge gegen 0.