Interpolation von y = sin(x) durch eine ganzrationale Funktion dritten Grades

Question

Die Funktion y = sin(x) soll im Bereich 0 <= x <= pi durch eine ganzrationale Funktion dritten Grades ersetzt werden, die bei x1 = 0, x2 = 0.5, x3 = 1, x4 = pi/2 mit der Sinusfunktion übereinstimmt.

Ich habe erstmal die Punkte bestimmt also P1(0 / 0), P2(0.5 / 0.479) P3(1 / 0.841) P4((pi/2) / 1). Dann die Werte in 4 Gleichungen eingesetzt und gelöst. Als Lösung habe ich raus: y = -0.12x²-0.06x²+1.02x

Das Problem ist aber, dass ich ständig mit gerundeten Zahlen gerechnet habe. Da ja sin(0,5) und sin(1) krumme Zahlen ergeben und (pi/2)³ usw auch. Ich hatte das Gefühl, dass ich total falsch rechne aber ich habe die Funktion zeichnen lassen. Die Lösung scheint zu stimmen.

Meine Frage ist, ob ich das so richtig gemacht habe und gibt es einen einfacheren Weg ohne ständig auf- und abzurunden?

 

Answer 1

Hi,

die Lösung ist richtig. Du kannst auch ein lineares Gleichungssystem aufstellen für die Variablen a,b,c,d und das dann lösen. Die Gleichung sieht dann so aus $$ \left( \begin{matrix} x_1^3 & x_1^2 & x_1 & 1 \\ x_2^3 & x_2^2 & x_2 & 1 \\ x_3^3 & x_3^2 & x_3 & 1 \\x_4^3 & x_4^2 & x_4 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \\  c\\ d \end{matrix}  \right)=\left( \begin{matrix} sin(x_1) \\ sin(x_2) \\  sin(x_3) \\ sin(x_4) \end{matrix}  \right)  $$
Das Rundungsproblem hast Du aber so oder so.