f(t) = ln(t^{1/2} ) mit Kettenregel ableiten

Question

Die Ableitung der äußeren Funktion ist 1/x. Die Ableitung der inneren Funktion 1/2t^-1/2 

Insgesamt also 1/x * 1/2t^-1/2

Jetzt muss ich ja noch die innere Funktion in die Variable t einsetzen oder? Ich bin mir nicht sicher ob ich die innere Funktion in x oder t einsetzen muss. Kann man sagen, dass es nie x ist?

Also wäre die Lösung 1/x * 1/2*(t^1/2)^-1/2 ?

Answer 1

Vergleiche jeweils zuerst mit der Lösung hier: https://www.wolframalpha.com/input/?i=ln%28t%5E%281%2F2%29%29+

Anmerkung: Die schreiben log für den ln.

Rauskommen sollte nun

f ' (t) = 1 /(2t) 

Du hast zu viel an der Ableitung der inneren Funktion gebastelt.

f '(t) =  1/x * 1/2*(t)^-1/2

Dabei ist x die innere Funktion: x = t^{1/2}

Daher

f ' (t) = 1/x * 1/2*(t)^-1/2        Das muss zum Schluss von t abhängen.

   .                                               Siehst du nur, wenn du f(t) und f ' (t) jeweils dazuschreibst.

=  1/t^{1/2} * 1/2*(t)^-1/2        Brüche zusammenfassen , Potenzgesetze

= 1/(2t)

Comments

f ' (t) = 1/x * 1/2*(t)^-1/2 hatte ich auch heraus. Dann habe ich t^1/2 also in die falsche Variable eingesetzt und es hätte eigentlich in x eingesetzt werden müssen.

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Ja genau. Schau immer, wovon die ursprüngliche Funktion abhängt. Diese Variable muss auch am Schluss noch vorkommen. Die Variable, die du für die innere Funktion selbst erfunden hast, hat im Resultat nichts verloren.