Integralrechnung Waldfläche

Question

Eine Waldfläche wird durch Holzeinschlag um 10ha pro Jahr verringert. Nach 5 Jahren wird der Einschlag beendet und die Fläche wird wieder aufgeforstet, so dass die Waldfläche dann um 7ha pro Jahr zunimmt.

a) Die Funktion f beschreibt die Veränderung der Waldfläche pro Jahr für den Zeitraum der ersten 15 Jahre nach Beginn des Holzeinschlags. Stelle f als abschnittsweise definierte  Funktion dar und zeichne den Graphen von f.

b)Ermittel ,wann die Waldfläche wieder die ursprüngliche Größe erreicht hat.

c)Bestimme die Integrale   ⁵∫₀ f(x) dx,     ¹⁵ ∫₅ f(x) dx,     ¹⁰∫₂ f(x) dx  und erläutere die Bedeutung dieser drei Integralwerte.

 

Kann mir jemand bitte helfen, ich komme hier absolut nicht weiter :/

Answer 1

Zu a)

Nun, die Veränderung pro Jahr ist in den ersten 5 Jahren jeweils

- 10 ha/Jahr

und in den darauf folgenden Jahren

+ 7 ha/Jahr

Also:

f ( n ) = - 10  für 0 < n ≤ 5, n ∈ N

f ( n ) = 7 für n > 5 , n ∈ N

 

Zu b)

x - 5 * 10 + n * 7 = x

<=> n * 7 = 5 * 10 = 50

<=> n = 50 / 7 ≈ 7,1

Also: etwa 7 Jahre nach Beginn der Wiederaufforsten (und somit etwa 7 + 5 = 12 Jahre nach Beginn des Holzeinschlags hat die Waldfläche wieder die ursprüngliche Größe erreicht.

 

Zu c)

⁵∫₀ f(x) dx = ⁵∫₀ - 10 dx = [ -10 x ]₀⁵ = - 50 - 0 = - 50

Die ist die Gesamt"zunahme" (Abnahme)  in den ersten 5 Jahren.

¹⁵ ∫₅ f(x) dx = ¹⁵ ∫₅ 7 dx = [ 7 x ]₅¹⁵ = 105 - 35 = 70

Die ist die Gesamtzunahme in den ersten 10 Jahren nach Beginn der Wiederauffostung.

¹⁰∫₂ f(x) dx = ⁵∫₂ f(x) dx + ¹⁰∫₅ f(x) dx

=  ⁵∫₂ - 10 dx + ¹⁰∫₅ 7 dx

= [ -10 x ]₂⁵ + [ 7 x ]₅¹⁰

= - 50 - ( - 20 ) + 70 - 35 = 5

Dieser Wert gibt an, um wieviel die Waldfläche nach 5 Jahren Wiederaufforstung den Stand nach 2 Jahren Abholzung übersteigt .