Lagrange-Verfahren: Nutzenfunktion

Question

Hi,

ich habe eine Maximierungsaufgabe bei der ich mir nicht ganz sicher bin:

Die Nutzenfunktion lautet: u(x₁,x₂) = x₁^{1/2} + x₂

Die Nebenbedingung: m=p₁x₁ + p₂x₂

Meine Lagrangefunktion lautet doch dann: x₁^{1/2} + x₂ + λ (m- p₁x₁ - p₂x₂)

Die 3 partiellen Ableitungen sind dann:

(1) nach x₁: 1/2x₁^{-1/2} - λp₁

(2) nach x₂: 1 - λp₂

(3) nach λ: m- p₁x₁ - p₂x₂

Teile ich dann (1) / (2) und löse nach x₁ auf habe ich: x₁= (p₂/2p₁)²

Das muss ich doch dann in die Nebenbedingung einsetzen:

m= p₂²/4p₁ + p₂x₂

Nach x₂ aufgelöst: x₂ = m/p₂ - p₂/4p₁

Ich würde mich freuen wenn da mal jemand drüber schauen könnte, ob ich alles richtig gerechnet habe da ich mir nicht ganz sicher bin und leider keine Lösung habe.

Im b.) ist dann die Frage, wie sich die Nachfrage nach Gut 1 ändert, wenn das Einkommen (m) steigt. Da wäre keine Veränderung, weil x₁ kein m enthält und somit unabhängig davon ist. Oder?

Danke und lg.

Answer 1

Ich habe folgendes

x1 = m/(3·p1)

x2 = 2·m/(3·p2)

 

Meine allgemeine Lösung für solche Fälle.

Schau mal selber wo du eine Abweichung hast.

Nutzenfunktion U(x, y) = x^a·y^b

Preis für x ist p

Preis für y = q

Budget m

Nebenbedingung: p·x + q·y = m

y = m/q - p·x/q

Lagrange Funktion: L = x^a·y^b - k·(p·x + q·y - m)

L / dx = a·x^{a - 1}·y^b - k·p = 0 | NB einsetzen

a·x^{a - 1}·(m/q - p·x/q)^b - k·p = 0

k = a·x^{a - 1}·((m - p·x)/q)^b/p

L / dy = x^a·b·y^{b - 1} - k·q = 0 | NB und k einsetzen

x^a·b·(m/q - p·x/q)^{b - 1} - (a·x^{a - 1}·((m - p·x)/q)^b/p)·q = 0

x = a·m/(p·(a + b))

y = m/q - p·x/q

y = m/q - p·(a·m/(p·(a + b)))/q

y = b·m/(q·(a + b))

Comments

Danke für die Antwort, aber auf diese Art kann ich es doch gar nicht berechnen, da die partielle Ableitung nach x1 unabhängig von x2 ist. Daher kann ich die Budgetgleichung (nach x2 aufgelöst) nicht mehr einsetzen.

Meinen Fehler habe ich also leider noch nicht gefunden.

Ich habe hier nochmal meinen Rechenweg eingescannt, leider etwas krumm aber man kann ja trotzdem alles wichtige lesen.