TaylorPolynom. Kann jemand meine Rechnung überprüfen?

Question

Hi,

f(x)= e^2x-2+2x soll an der Stelle x₀=1 durc h ein Polynomn zweiten Gerades angenährt werden. Bestimmen Sie die nährungsfunktion. 

Erstmal bilde ich die 1.- 2.Ableitung

f(x)= e^2x-2+2x

f'(x)= 2e^2x-2+2

f''(x)= 4e^2x-2

f(x)≈f(x₀)+f'(x₀)/1(x-x₀)+f''(x₀)/1*2(x-x₀)²

≈f(1)+f'(1)/1(x-1)+ff'(1)/1*2(x-1)²

f(1)= e^2*1-2+2*1= 3

f'(x)= 2e^2*1-2+2 = 4

f''(x)= 4e^2*1-2= 4

 

≈ 3+4/1(x-1)+4/2(x-1)²

3+4(x-1)+2(x²-2x+1)

3+4x-4+2x²-4x+2 =

2x²+1

 

Ich hoffe das stimmt jetzt :)

Answer 1

Hi Emre,

das sieht gut aus ;).

Als Hinweis: Bei Taylorpolynomen tritt der seltene Fall ein, dass man nicht ausmultipliziert. Zumeist wird das Taylorpolynom in der "eigentlichen" Form gelassen.

Hat Vorteile wie direktes ablesen des Grades, ablesen des Entwicklungpunktes etc ;).

 

Grüße

Comments

Hi Unknown:)

juhhu:)

Danke für den Hinweis:)


Und darf ich mal Fragen was der Unterschied zwischen einem Taylorpolynom und einer Taylorrihe ist??

Ja klar Polynome sind doch Funktionen? Und reihen??

Also hat das auch was mit dem Nährungsfunktionen zutun? und was ist ein Restgleid Oo sowas steht in meinem Buch:)

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Wenn ich es recht in Erinnerung habe, war das so, dass bei Taylorreihen alle Glieder berücksichtigt werden. Wir also über der Summe ein Unendlich haben (wäre dann übrigens exakt). Beim Taylorpolynom kann man zuvor abbrechen, hat also unter Umständen weniger Glieder als die Reihe. Man sagt ja auch "Taylorpolynom 2ter Stufe/2ten Grades" ;).

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Ahsoo:)

Danke für deine Erklärung Unknown:)

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"Wir also über der Summe ein Unendlich haben (wäre dann übrigens exakt)."

So pauschal kann man das nicht sagen. Es ist nur innerhalb des Konvergenzbereichs die Taylorreihe gleich der Funktion.

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Kleine Ergänzung: Auch wenn die Taylorreihe an einer Stelle konvergiert, muss der Wert der Reihe an dieser Stelle nicht unbedingt gleich dem Funktionswert an dieser Stelle sein.

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Danke für die Berichtigung/Ergänzung ;).