Eigenwerte und norminierte Eigenvektoren berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Eigenwerte und normierten Eigenvektoren der Matrix

\( \mathbf{A}=\left(\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right) \)


Ich habe folgende Gleichung herausbekommen:

λ²-2λ-4=0

λ1=1+√5 rund 3,236
λ2=1-√5 rund -1,236

Wie komme ich zu den Normierungswerten? Lösungsansatz:

\( \lambda_{I}:\left[\left(\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right)-(3,236)\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\right] \vec{x}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow\left(\begin{array}{cc}-0,236 & 1 \\ 1 & -4,236\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right) \)
\( \lambda_{2}:\left[\left(\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right)-(-1,236)\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\right] \vec{x}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow\left(\begin{array}{cc}4,236 & 1 \\ 1 & 2,236\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right) \)

Answer 1

-Rechne mit den echten Werten, nicht den gerundeten (mal ganz abgesehen von Rundungsfehlern ist es einfacher mit den echten Werten, da deutlich weniger Stellen berechnet werden). -Berechne irgendeinen (nicht-trivialen) Eigenvektor, im Zweifelsfall mit Gauß. Normiere anschließend.

Comments

ich habe die echten Werte hochgeladen. Ich muss die Formel suchen mit der ich den normierten Eigenvektor berechnen kann und wenn nicht bleibt nur noch Gauß übrig.

\( \lambda_{1}:\left[\left(\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right)-(1+\sqrt{5})\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\right] \quad \vec{x}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow\left(\begin{array}{cc}2-\sqrt{5} & 1 \\ 1 & (-2)-\sqrt{5}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0\end{array}\right) \)
\( \lambda_{2}:\left[\left(\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right)-(1-\sqrt{5})\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\right] \quad \vec{x}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow\left(\begin{array}{cc}2+\sqrt{5} & 1 \\ 1 & \sqrt{5}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right) \)

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"wenn nicht bleibt nur noch Gauß übrig". Gauß ist das Mittel der Wahl. Es mag für 2x2-Matrizen eine Formel geben, keine Ahnung, sobald aber größere Matrizen auftauchen kannst du das mit "Formel" vergessen. Beim zweiten Eigenvektor ist in der letzten Gleichung ein Tippfehler.

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Hier nochmal die Korrektur:

\( \lambda_{1}:\left[\left(\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right)-(1+\sqrt{5})\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\right] \quad \vec{x}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow\left(\begin{array}{cc}2-\sqrt{5} & 1 \\ 1 & (-2)-\sqrt{5}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right) \)
\( \lambda_{2}:\left[\left(\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right)-(1-\sqrt{5})\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\right] \quad \vec{x}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow\left(\begin{array}{cc}2+\sqrt{5} & 1 \\ 1 & (-2)+\sqrt{5}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right) \)

Unten habe ich die zwei Gaußschen Gleichungen aufgestellt:

λ₁:
2-√5x₁+1x₂=0
1x₁-2-√5x₂=0

λ₂:
2+√5x₁+1x₂=0
1x₁-2+√5x₂=0

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Es ist unnötig und eher kontraproduktiv Gleichungen hier aufzustellen. Das Gauß Verfahren: https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren führt man eigentlich direkt in der Matrix, bzw. der erweiterten Koeffizientenmatriy aus.

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Ich habe mir das Gaußsche E. auf Wikipedia angesehen. Hinter der jeweiligen Matrix kommt ein senkrechter Strich mit (0,0). Das Problem ist, dass ich für beide Gleichungen x₁ und x₂ immer 0 herausbekomme. Ich habe die Matrix in einem Online-Rechner eingegeben und die Lösung scheint sowohl für λ1 als auch für λ2 für x1 und x2 0 zu sein.

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Natürlich ist (0,0) eine Lösung - das ist eine Lösung jedes LGS. Es gibt hier aber mehr, z.B. \( (2-\sqrt{5}, -1) \) und das kann man mit Gauß berechnen. Hast du eigentlich kein Skript? Da sollte es deutlich schöner erklärt werden als auf Wikiepdia? (Ich verlinke auf Wikipedia, weil ich nicht auf deine Unterlagen verlinken kann)

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Ja, ich habe zwar ein Skript, aber es ist viel zu kompliziert geschrieben. Ich war immer im Grundkurs und ich finde die Beschreibung im Skript irreführend. Es gibt Online viel bessere und leicht verständlichere Erklärungen, wie z.B. hier: https://www.matheretter.de/wiki/determinanten#gauss

Für mich ist es wichtig die 50%-Marke in der Klausur zu schaffen, weil ich nun mal in Mathe schlecht bin. Wäre ich gut, dann bräuchte ich hier im Forum keine Fragen stellen... Ich finde Online nur 3x3 Matrizen nach Gauß, nie eine 2x2 Matrix.

Man muss also so viel wie möglich Nullen in einer Matrix erhalten, um das Ergebnis zu erhalten. Was soll ich den addieren oder multiplizieren? Es ist nun mal nicht einfach.

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In deinem Link geht es um Determinanten- Berechnung mit dem Gauß-Verfahren. Das hat mit der Aufgabe nichts zu tun. Hier geht es darum ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Um ganz ehrlich zu sein, ich habe keine Lust dir dieses Verfahren hier vorzukauen, das ist mir viel, viel zu zeitaufwändig. "Es ist nun mal nicht einfach." Das hab ich auch nie behauptet.

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Schade, dass du das so siehst...  Ich verlange nicht gleich promt die endgültige Lösung und ich versuche immer eigene Rechnungen aufzustellen, auch wenn diese falsch sein mögen, aber immerhin gebe ich mir Mühe. Du hättest mir ein anderes Beispiel (2x2 Matrix) vorrechnen können, damit ich das Gaußschen E. verstehen kann. Ich muss seit gestern 12 brandneue Aufgaben erledigen Abgabetermin Montag (Mathematik) /Dienstag(Physik). Und ich habe einfach einen enormen Zeitdruck und ich weiß nicht, wie ich alles schaffen soll und dann noch die Klausuren... Egal, du bekommst trotzdem für deine Geduld einen Stern.