Kurvendiskussion von f(x) = -2/27*x^3+2x

Question

gegeben ist die funktion f mit f(x)=-2/27*x^3+2x

a)untersuchen sie anhand des funktionsterms, ob der graph der funktion f symmetrisch ist.

b)aus den eigenschaften des graphen der funktio f´ ergeben sich eigenschaften der funktion f. geben sie dafür zwei beispiele an. beziehen sie sich dabei auf eigenschaften der abbildung.

c) (1) weisen sie rechnerisch nach, dass der graph von f in H(3|4) einen lokalen hochpunkt und in T(-3|-4) einen lokalen tiefpunkt hat. (2) zeichnen sie in die abbildung die gerade g ein, die durch die beiden lokalen extrempunkte des graphen der funktion f verläuft, und bestimmen sie rechnerisch die gleichung dieser geraden. (kontrollösung: g: y=4/3x)

d) der graph von f hat in zwei punkten p1 und p2 tangenten mit der steigung m = -6. (1) bestimmen sie die punkte p1 und p2 zeichnerisch unter verwendung des graphen der funktion f´aus der abbildung. beschreiben sie ihr vorgehen. (2) bestimmen sie durch rechnung die genauen x-koordinaten der punkte p1 und p2.

e) (1) der graph von f wird parallel zu den koordinaten so veschoben, dass der verschobene graph seinen lokalen hochpunkt im ursprung hat. geben sie ohne zu rechnen eine funktionsgleichung des verschobenen graphen f1 an. (2) nun wird die gerade g in genau derselben weise wie der graph von f verschoben. die verschobene gerade wird mit g1 bezeichnet. begründen sie, dass g und g1 identisch sind.

Kann mir jemand Tipps geben, wie ich es berechnen kann ??

Answer 1

Hi,

a) ist Punktsymmetrisch, da nur ungerade Exponenten vorhanden.

 

b) 1. Für eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung muss es ein Extremum bei f(x) geben.

2. Hochpunkt der Ableitung deutet auf Wendepunkt der eigentlichen Funktion hin.

 

c) Bilde die Ableitung -> f'(x) = -2/9*x^2+2

Nun f'(x) = 0 bilden und in f''(x) einsetzen -> Ist eine wahre Aussage.

 

Wir wissen ja, dass der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Die Geradengleichung y = mx+b kann direkt zu y = mx (mit b = 0) vereinfacht werden. Dann nur noch H einsetzen und man erhält m = 4/3 -> y = 4/3*x.

 

d) Mit Hilfe der Ableitung -> suche dort den Funktionswert f'(x) = -6, denn die erste Ableitung gibt ja die Steigung an.

x-Koordinaten rausfinden, indem man es tatsächlich in die erste Ableitung einsetzt:

f'(x) = -2/9*x^2+2 = -6   |-2

-2/9*x^2 = -8                 |:(-2/9)

x^2 = 36

x = ±6

 

e) Verschiebung um 4 nach unten und 3 nach links

-> h(x) = -2/27*(x+3)^3 + 2(x+3) - 4

 

g(x) = 4/3*x

g₁(x) = 4/3*(x+3) - 4 = 4/3*x + 4 - 4 = 4/3*x

 

Alles klar?

 

Grüße