X^4-4x^3-18x^2-27 Verhalten im Unendlichen

Question

ich muss für diese Aufgabe eine Kurvenuntersuchung machen:

f(x)= X^4-4x^3-18x^2-27

und komm gerade nicht weiter beim Limes. Was muss man sich dabei denken, wenn man x^4 ausgeklammert hat. Wir sollen immer den höchsten Exponenten ausklammern.

$$\lim _{ x->±∞ }{ ={ x }^{ 4 }(1-\frac { 4 }{ x }  } -\frac { 18 }{ { x }^{ 2 } } -\frac { 27 }{ { x }^{ 4 } } )$$

Ich denke, dass +- undendlich rauskommt, aber ich bin mir nicht sicher warum. :D

Answer 1

Die letzten 3 Glieder in der Klammer gehen bei Einsetzung
von x −> ±∞ gegen null und entfallen
Übrig bleibt [ x^4 * ( 1 ) ] = x^4
( ± ∞ )^4 = + ∞
Das Vorzeichen wird in beiden Fällen positiv.

Comments

danke! auch noch mal die Frage, kommt dann nur +∞ raus?Achja steht ja schon da. :)

Answer 2

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"Ich denke, dass +- undendlich rauskommt " ... <- richtig

weil alle Summanden in der Klammer  -> ausser der 1  ..für x->oo gegen 0 gehen,

deshalb bleibt also für deinen Ernstfall nur noch x^4 * 1 , was friedlich ins Jenseits geht

.nebenbei:

du kannst dir sogar merken, dass bei ganzrationalen Funktionen

immer nur der Term mit dem höchsten Exponenten das jenseitige 

Verhalten bestimmt..

die Richtung wird dann vom Vorzeichen der Vorzahl dieses Terms bestimmt..

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Comments

kommt dann nicht nur +∞ raus habe ich jetzt gerade überlegt, weil x^4 bleibt ja possitiv, wenn ich negative Werte einsetze. Und in der Klammer steht ja 1.

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die Antwort darauf
habe ich dir oben schon etwas allgemeiner notiert..

in deinem Beispiel ist das Vorzeichen der Vorzahl von 1* x^4  ein plus
(+1)*x^4
und da der Grad (dh der Exponent 4) gerade ist verschindet f(x)  -> +oo
egal ob x-> - oo oder  x-< +oo betrachtet wird.


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Hi, was bedeutet das jenseitige Verhalten?

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ok danke, da muss ich mal drauf achten!

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"was bedeutet das jenseitige Verhalten?"

na ja .. etwas salopp : das Verhalten wenn eine Variable

ins Unendliche ("Jenseits" ) verschwindet

sei beruhigt: das ist also kein  mathematischer Fachbegriff..

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alright! :) Jenseits hat sich so nac h Akte X angehört hehe