Aloha :)
Der größtmögliche Definitionsbereich der Funktion$$f(x)=\frac{(x^2+4x-5)(x-3)}{(x-2)(x-1)}$$ist die Menge der reellen Zahlen ohne die Nullstellen des Nenners:\(\quad\mathbb D=\mathbb R\setminus\{1;2\}\)
Definitionslücken
Für die Definitionslücke \(x=1\) ist nicht nur der Nenner null, sondern auch der Zähler ist null. Daher liegt bei \(x=1\) eine behebbare Lücke vor.
Für die Definitionslücke \(x=2\) ist der Nenner null und der Zähler gleich \((-7)\), also ungleich null. Daher liegt bie \(x=2\) eine Polstelle vor.
Weiter wechselt bei \(x=2\) der Faktor \((x-2)\) im Nenner sein Vorzeichen von Minus nach Plus. Daher liegt bei \(x=2\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.
Asymptoten
Zur Bestimmung des Verhaltens im Unendlichen formen wir den Funktionsterm etwas um:$$f(x)=\frac{\pink{(x^2+4x-5)}(x-3)}{(x-2)(x-1)}=\frac{\pink{(x+5)\cancel{(x-1)}}(x-3)}{(x-2)\cancel{(x-1)}}=\frac{(x+5)(x-3)}{x-2}$$Jetzt erkennst du übrigens schön, dass bei \(x=1\) eine behebbare Lücke vorliegt, denn in den gekürzten Funktionsterm kannst du \(x=1\) einsetzen.
Aber wir wollten die Asymptoten bestimmen, also rechnen wir weiter:$$f(x)=\frac{x^2+2x-15}{x-2}=\frac{(x^2-2x)+(4x-8)-7}{x-2}=\frac{x\pink{(x-2)}+4\pink{(x-2)}-7}{\pink{x-2}}$$$$f(x)=x+4-\frac{7}{x-2}$$Für \(x\to\pm\infty\) verschwindet der übriggebliebene Bruch und die Asymptote lautet:$$a(x)=x+4$$
~plot~ ((x^2+4x-5)*(x-3))/((x-2)*(x-1)) ; [[-20|20|-20|20]] ; x=2 ; x+4 ~plot~
