Allgemeiner Ansatz der bis jetzt bekannten Quadraturformeln war die Funktion f durch ein Polynom p in das Integrationsintervall [a,b] zu einem äquidistanten Gitter $$ \left\{ a\quad =\quad { x }_{ 1 }\quad <\quad { x }_{ 2 }\quad <\quad ...\quad <\quad { x }_{ n }\quad =\quad b \right\} $$
$$ f(x)\quad \approx \quad p(x)\quad =\quad \sum _{ k=0 }^{ n }{ f({ x }_{ k }){ L }_{ k }(x) } \quad \quad $$
Dabei sind die L_k die durch das Gitter definierten Lagrangepolynome. Eine Quadraturformel erhält man dann aus der Näherung
$$ \int _{ a }^{ b }{ f(x) } =\int _{ a }^{ b }{ \sum _{ k=0 }^{ n }{ f({ x }_{ k }){ L }_{ k } } } $$
a) Statt als Polynom soll die Funktion f nun dargestellt werden als
$$ f(x)\quad \approx \quad { s }_{ n }(x)\quad :=\quad \sum _{ k=0 }^{ n-1 }{ f\left( \frac { { x }_{ k }+{ x }_{ k+1 } }{ 2 } \right) } { T }_{ k } $$
mit Basisfunktionen
$$ { T }_{ k }(x)\quad =\quad \begin{cases} 1\quad :\quad x\quad \in \quad [{ x }_{ k }\quad ,{ \quad x }_{ k+1 }) \\ 0\quad :\quad sonst \end{cases} $$
und
$$ { T }_{ n-1 }(x)\quad =\quad \begin{cases} 1\quad :\quad x\quad \in \quad [{ x }_{ n-1 }\quad ,{ \quad x }_{ n }] \\ 0\quad :\quad sonst \end{cases} $$
Wie sieht die aus diese Darstellung gewonnene Quadraturformel aus?
b) Implementieren Sie die in a) erhaltene Quadraturformel und ermitteln Sie empirisch deren Konvergenzzuordnung.
c) Such Sie in der Literatur nach dem Namen dieser Quadraturformel und zitieren Sie in korrekter Weise das Werk in welchem Sie den Namen gefunden haben
