Im 5. Jh. v. Chr. fanden einige Konstruktionsaufgaben besonderes Interesse in der Fachwelt. Dazu gehörten die Frage nach der Teilung eines gegebenen Winkels in drei gleiche Teile und die Verwandlung eines Kreises in ein flächengleiches Quadrat. Heute wissen wir, dass beide Aufgaben mit den klassischen Hilfsmitteln, Zirkel und Lineal nicht lösbar sind. Hippias von Elis schuf sich im späten 5. Jh. v. Chr. die sogenannte „Quadratrix“ als Hilfsmittel. Auf ihr liegt für jedes k der Schnittpunkt der Geraden y=k mit der Geraden y=tan(kπ/2)·x. So wird sie von Hippias jedoch nicht beschrieben. Er ist von der Vorstellung ausgegangen, dass sich im Einheitsquadrat ABCD die Strecke DC mit gleichmäßiger Geschwindigkeit auf die Strecke AB zu bewegt. Gleichzeitig dreht sich der Zeiger AD mit gleichmäßiger Geschwindigkeit um A und kommt gleichzeitig mit der Strecke DC in die Lage AB. Die Menge der Schnittpunkte von Zeiger und Strecke stellt sich im Koordinatensystem als gekrümmte Linie in dar. Diese Kurve hat Hippias punktweise konstruiert. Den ersten Punkt der Quadratrix erhielt er als Schnittpunkt der Mittelparallelen zwischen AB und DC mit der Halbierenden des Winkels BAD. Und weitere Punkte durch fortgesetzte Schnitte von Winkelhalbierenden mit zugehörigen Mittelparallelen.
Um nun einen Winkel α zu dritteln, trägt man diesen an AB in A an. Sein freier Schenkel scheidet die Quadratrix in P. Das Lot von P auf AB wird von E und F in 3 gleiche Teile geteilt. Die Parallelen durch E und F zu AB schneiden die Quadratrix in E’ und F‘. Die Punkte E‘ und F‘ dritteln den Bogen von G bis P. (G ist der Schnittpunkt der Quadratrix mit AB). Dann hat der Winkel F‘AG die Größe α/3.
Um 350 v.Chr. hat Deinostratos entdeckt, dass sich die Quadratrix auch für die Lösung des zweiten eingangs genannten Problems eignet, das als „Quadratur des Kreises“ sprichwörtliche Bedeutung erhalten hat. Zum Zwecke der Herleitung einer Gleichung der Umkehrfunktion der Quadratrix beziehen wir uns auf die Gleichungen der Geraden (1) y=k und (2) y=tan(kπ/2)·x. Gleichung (1) wird in (2) eingesetzt und x wird mit y vertauscht. Das Auflösen nach y ergibt die Umkehrfunktion g zur Quadratrix mit der Gleichung g(x)=x·cot(π/2 x) aus. Die Gleichung der Tangente an den Funktionsgraphen von g im Punkt (1/0) lässt sich heute mit Hilfe der Oberstufenmathematik bestimmen: y = -π/2(x – 1).
Nebenstehende Abbildung zeigt diese Tangente, die an der ersten Hauptdiagonalen gespiegelte Quadratrix und ein Rechteck mit dem Flächeninhalt 2·π/2 = π. Das Rechteck lässt sich mit dem Höhensatz in ein Quadrat verwandeln.
