Maximale und Minimale Länge bestimmen.

Question

Maximal:

1) Aus einem Draht der Länge 50cm soll ein Rechteck gebogen werden, das eine Fläche von maximalem Inhalt umrandet. Wie sind Länge und Breite des Rechtecks zu wählen?

Minimal:

2) Ein rechteckiges Grundstück soll den Flächeninhalt 400m^2 ( quadratmeter) erhalten. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks zu wählen, damit der Umfang des Rechtecks minimal wird?

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Answer 1

Erst stellst du einen Zusammenhang zwischen Werten auf:

1) 50 = 2a + 2b |- 2b →50 - 2b = 2a |: 2 →a = 25 - b

Dann stellst du einen Zusammenhang zwischen dem Wert, nachdem du zuerst aufgelöst hast, also hier b und dem zu maximierenden Wert auf und leitest diesen ab:

F(b) = a·b = (25 - b)·b = 25b - b²
F'(b) = -2b + 25

Jetzt bestimmst du das Maximum durch gleich 0 setzen:

0 = 25 - 2b |+ 2b
2b = 25 |: 2
b = 12,5

Die maximale Fläche ist bei b = 12,5. Da du oben schon die Gleichung a = 25 - b bestimmt hast, beträgt a = 25 - 12,5 = 12,5 cm.

Die zweite Aufgabe musst du so ähnlich lösen. Wenn du mir deinen angefangenen Lösungsweg gibst, helfe ich dir weiter.

LG Florian

Comments

Hey. Könntest du mir erkären wie man auf die "2a+2b" kommt?

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Nach mehr als vier Jahren?

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1) Aus einem Draht der Länge 50cm soll ein Rechteck gebogen werden

Das ist die Nebenbedingung in Aufgabe 1). Die entstehende, rechteckförmige Drahtfigur entspricht dem Umfang u=2a+2b des Rechtecks, hier also 50=2a+2b.

Answer 2

zu a)

Hauptbedingung (HB): A(a,b) = a*b (soll maximal werden)

Nebenbedingung (NB): u = 2a + 2b -> a = (u - 2b)/2

Zielfunktion (Einsetzen der NB in HB) -> A(b) = b*(u - 2b)/2 = b*u/2 - b² = b*50/2 - b² = 25b - b²

A(b) ist eine nach unten geöffnete Parabel, deren Maximum im Scheitelpunkt liegt.

bs = - b/(2a)

Mit b = 25 und a = -1 folgt b_s = - 25/(2*(-1)) = 12,5 cm

Aus NB folgt a = (50 - 25)/2 = 12,5 cm

zu b)

HB: u(a,b) = 2a + 2b (soll minimal werden)

NB: A = a*b = 400 (m2) -> a = 400/b

Zielfunktion: u(b)= 2*400/b +2b = 800/b + 2b

Hier kann man  aus meiner Sicht mit der 1. Ableitung von u nach b arbeiten:

u' = -800/b² +2 = 0 -> b = 20 (m²)

u'' = 1600/b³ für b = 20 ist u'' > 0 -> es liegt ein Minimum vor 

Aus NB folgt a = 400/20 = 20 (m²)

Comments

Hey. Könntest du mir erkären wie man auf die Nebenbedingung kommt? Also "2a+2b"

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Hallo,

wie bekomme ich aus U(b)= 2*400/b +2b auf die Ableitung im ersten Teil und zwar 800/b2 ???

U' = -800/b2 +2

Vielen Dank für euere Unterstützung

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Hallo,

\(U(b)=2\cdot \frac{400}{b}+2b=\frac{800}{b}+2b\\\)

Wende das Potengesetz \(\frac{1}{a^n}=a^{-n}\) an.

\(U(b)=800\cdot b^{-1}+2b\\U'(b)=-1\cdot 800\cdot b^{-2}+2=-800b^{-2}+2=\displaystyle -\frac{800}{b^2}+2\)

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vielen Dank habe es jetzt verstanden :-)