Wie funktioniert ein Konvergenz-/Divergenznachweis bei einer Reihe?

Question

Ich möchte einen Konvergenz bzw. einen Divergenznachweis für folgende Gleichung durchführen. Kann es mir jemand ausführlich erklären? Wäre sehr dankbar!

$$ \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( \frac { 2 ^ { k } } { ( k + 2 ) ! } - \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { k ^ { 2 } } \right) $$

Answer 1

(Ich nehme mal an, dass du als untere Grenze der Reihe k=1 meinst. Für k=0 ist nämlich bereits der erste Summand nicht definiert, also die Reihe nicht konvergent.)

Du kannst folgendermaßen vorgehen:

Erstmal teilst du die Reihe in zwei Reihen auf, nämlich in

$$ a _ { n } = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { 2 ^ { k } } { ( k + 2 ) ! } $$

$$ b _ { n } = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { k ^ { 2 } } $$

Wenn beide Grenzwerte einzeln existieren, dann existiert auch der Grenzwert der Differenz und ist der Differenz der Grenzwerte gleich.

Da hier nur nach der Existenz selbst gefragt ist, reicht es also aus nur zu zeigen, dass diese beiden Grenzwerte existieren.

Leichter ist b_n: Nach dem Leibnizkriterium konvergiert die Reihe, weil die Summandenfolge eine alternierende Nullfolge ist.

a_n ist etwas schwieriger: Nach dem Quotientenkriterium erhält man, wenn man das n+1-te Folgeglied durch das n-te teilt:

$$ \frac { \left| a _ { k + 1 } \right| } { \left| a _ { k } \right| } = \frac { \frac { 2 ^ { k + 1 } } { ( k + 3 ) ! } } { \frac { 2 ^ { k } } { ( k + 2 ) ! } } = \frac { 2 ^ { k + 1 } } { 2 ^ { k } } \frac { ( k + 2 ) ! } { ( k + 3 ) ! } = \frac { 2 } { k + 3 } \leq \frac { 1 } { 4 } < 1 $$

Da sich der Quotient durch eine Zahl echt kleiner als 1 abschätzen lässt, ist die Reihe konvergent.

Also ist auch die Differenz konvergent.