Logarithmusgleichung: b) ln (6x^3 +7x^2 - x) = 1

Question

wie immer versuche ich meine Aufgaben selbst zu lösen aber ich scheiter an zweien.

1. log₂ (-3+x² ) + log₂ (x² ) = 1 | Log. zusammen ziehen

log₂ (x² [-3+x² ]) = 1 | Basis exponieren

2^{log (x²[-3 + x²])} = 2¹ | umschreiben und ausmultiplizieren

-3x²+ x⁴ =2

und wie mach ich da weiter? Möchte ja wissen was x ist :(

 

2. ln (6x³ +7x² - x) = 1 | Basis exponieren

e^{ln (6x^3 + 7x² -x)} = e¹ | umschreiben

6x³ + 7x² +x = 2,72

und auch hier weiß ich ab dem Punkt nicht weiter. Oder hab ich falsch angefangen??

 

LG

Comments

Das zauberwort heißt SUBSTITUTION:

x^2 = z

z^2-3z.-2 = 0

pq-Formel anwenden und ...

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also bei der ersten Aufgabe hab ich es hin bekommen, aber bei der zweiten nicht :(

Answer 1

-3x²+ x⁴ =2

und wie mach ich da weiter? Möchte ja wissen was x ist :(

-3x²+ x⁴ =2 | -2

-> x⁴ - 3x² -2 = 0, Das ist eine biquadratische Gleichung, die man über Substitution lösen kann.

z = x² -> z² - 3z -2 = 0 Diese Gleichung kann man mit pq-Formel oder abc-Formel lösen. Wenn du die Lösungen für z gefunden hast, das Rücksubstituieren bitte nicht vergessen.

6x³ + 7x² +x = 2,72, Das ist eine kubische Gleichung, die auf die Schnelle nicht so einfach zu lösen ist. Meistens geht's schneller, wenn man durch Einsetzen von einer Zahl für x herum probiert (oder bei einem bekannten Tabellenkalkulationsprogramm den Solver bemüht.

z.B x = 0,5 -> 6*0,5³ + 7*0,5² + 0,5 = 3 (fast getroffen) 

Comments

Erst mal vielen Dank für die Erklärung mit was ich es überhaupt zu tun habe, aber probieren ist keine richtige mathematische Lösung. Da sitz ich ja sonst Stunden in der Klausur

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Musste gestern dann schnell weg, daher habe ich mich nur aufs Raten beschränkt.

Hm, also für den Hausgebrauch kann man kubische Gleichungen mit folgendem Konzept lösen:

1. Finde durch "Raten" eine Nullstelle

2. Transformiere die kubische Gleichung in eine quadratische Gleichung
(mit Hilfe der Polynomdivision oder des Horner-Schemas)

3. Löse die quadratische Gleichung
(mit Hilfe der Mitternachtsformel, pq-Formel oder mit dem Satz von Vieta)

Mitunter gelingt das nicht, dann muss man größere Geschütze auffahren:

Grundgleichung: ax³ + bx² + cx + d = 0 mit a ≠0

1. Lineare Transformation  x = (y - b)/(3a) führt zu einer reduzierten kubischen Gleichung der Form

y³ + 3py + q = 0 mit p = 3ac - b² und q = 3b³ - 9abc + 27a²d

2. Berechnung der Diskriminaten D = q² + 4p³

Für D > 0 gibt es 1 reelle und zwei komplexe Lösungen

Für D = 0 gibt es drei reelle Lösungen, von denen mindestens zwei gleich sind.

Für D < 0 gibt es drei verschiedene reelle Lösungen

In unserem Fall ist D > 0

3. Berechnung der Lösungen für die reduzierte kubische Gleichung (hängt vom Wert der Diskriminante ab)

Für D > 0:

Mit den Hilfsgrößen u = 0,5* ³√(-4q + 4√D) und v = 0,5* ³√(-4q - 4√D) folgen

y₁ = u + v

y₂ = 0,5*(u + v) + 0,5*i*(u - v)*√3

y₃ = 0,5*(u + v) - 0,5*i*(u - v)*√3

4. Rücksubstitution zur Berechnung der Lösungen für die kubischen Ausgangsgleichung

x₁ = (y₁ - b)/(3a)

x₂ = (y₂ - b)/(3a)

x₃ = (y₃ - b)/(3a)

Ich habe die reelle Lösung zu 0,4767 (reicht nah am ursächlichen Schätzwert von 0,5) bestimmt. Die komplexen Lösungen überlasse ich dir .-)