Woran erkenne ich welche DGL linear ist oder nicht?

Question

Ich habe folgende Gleichungen und soll jeweils begründen ob diese linear sind bzw. sich zu einer Gleichung umformen lassen oder nicht.

1) \( x^{\prime}=t^{2} x+\sin (t) \)

2) \( x^{\prime}=t^{2}+\sin (x) \)

3) \( x x^{\prime}=t \)

4) \( \frac{x^{\prime}}{x}=t^{2} \)

Answer 1

Hi,

ob etwas linear ist oder nicht, siehst Du eigentlich anhand ihres Exponenten. Also die Variable und ihre Ableitungen müssen den Exponenten 1 haben.


1) linear

2) nicht linear (wir haben ja sin(x))

3) nicht linear (ist ja ein Produkt aus linearen Faktoren)

4) linear


Grüße

Comments

Erstmal Danke für deine schnelle Antwort!

Nach deiner Definition verstehe ich nicht, wieso 1) linear ist, obwohl das der Exponent von t =2 ist.
Wieso ist bei 2) sin(x) ein ausschluss für linearität?
Bei 3) ist es ein produkt aus linearen faktoren. Wieso ist das der Grund dafür das es nicht linear ist? und bei 4) seh ich leider wieder den Widerspruch mit dem exponenten von t.


Es tut mir wirklich leid das ich mich damit so schwer tue. die defintion mit dem exponenten hab ich auch schon gelesen, aber wusste sie in meinem fall leider nicht zu gebrauchen.


vielen dank für deine mühe!

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Es geht um die Variable x. Was mit t passiert ist völlig egal ;).


2) sin(x) ist ja wieder mit einem x involviert. x ist dabei aber nicht mehr linear, also hat nicht den Exponent 1 (d.h. x selbst schon, ist ja aber über den Sinus verknüpft).

f(x) = sin(x) + 5 , würdest Du ja auch nicht als "linear" beschreiben?! ;)


3) Die Formulierung mit Exponent muss 1 sein, ist etwas leger formuliert. Letztlich muss eine lineare DGL als

c*x(t) + d*x'(t) + e*c''(t) + ... = h(x)

dargestellt werden können. Das bekommst Du hier nicht hin ;).