Wie vereinfacht man Wurzelterme?

Question

Aufgabe:

Vereinfache jeden der Terme möglichst weitgehend.
\( \text { a) } 3(2+\sqrt{4}) \\ {\text { b) } 2 \sqrt{5}(\sqrt{5}-1)} \\ \text{ d) } (\sqrt{6}+\sqrt{24})^{2} \\ \text{ h) } (\sqrt{45}+\sqrt{75})(5 \sqrt{3}-3 \sqrt{5}) \\ \text { i) }(\sqrt{27}-\sqrt{48}) \cdot \sqrt{3} \)

Könnt ihr mir sagen wie man Terme mit Wurzeln vereinfacht? 

Answer 1

a) 3*(2+√4)

√4 kannst du direkt berechnen: √4 = 2. Dann folgt für den Term:

3*(2+√4) = 3*(2+2) = 3*4 = 12

b) 2√5(√5 - 1)

Hier musst du die Klammer mit dem Distributivgesetz ausmultiplizieren:

2√5(√5 - 1) = 2√5*√5 + 2*√5*(-1) = 2*5 - 2*√5 = 10 - 2√5

Weiter lässt sich der Term nicht vereinfachen.

d) (√6 + √24)²

Hier verwendet man die 1. binomische Formel:

(√6 + √24)² = √6² + 2*√6*√24 + √24² = 6 + 2*√(6*6*4) + 24

= 30 + 2*√144 = 30+2*12 = 30+24

= 54

h) Hier kann man im linken Faktor erstmal partiell die Wurzeln ziehen:

√45 + √75 = √(9*5) + √(25*3) = 3*√5 + 5*√3

Offensichtlich hat das ganze Produkt also die Form

(a+b)*(a-b)

was nach der dritten binomischen Formel gleich

a² - b² ist.

Es gilt also:

(√45 + √75)*(5√3 - 3√5) = (5√3 + 3√5)*(5√3 - 3√5) = 25*3 - 9*5 = 75 - 45 = 30

i) Auch hier ist es klug zunächst partiell die Wurzeln zu ziehen:

(√27 - √48)*√3 = (√(3*9) - √(3*16))*√3 = (3√3 - 4√3)*√3

= 3*3 - 4*3 = 9-12 = -3