Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n gilt: c) 8 ist ein Teiler von (2n+1)^2-1

Question

Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n gilt:

a) 2 ist ein Teiler von n²-n

b) 6 ist ein Teiler von n⁵-n

c) 8 ist ein Teiler von (2n+1)²-1

 

Wie beweist man sowas? Ich denke hier braucht man nicht die vollständige Induktion? oder doch?

Comments

Ich denke bei der a musste dass der fall sein ((n+1)n)/2 solte stimmen. Solang ich mich nicht irrr^^.

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Ja, a) ist trivial. n^2 - n = n*(n-1), also das Produkt aus einer Zahl und der Zahl danach. Da ist auf jeden Fall eine gerade Zahl dabei, also durch 2 teilbar. Bei b und c würde ich vollständige Induktion verwenden, ggf. auf Kongruenzen zurückgreifen.

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Ich hab n(n+1) du hast minus wRum??

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Also ich hab gemacht (n+)^2 -(n+1)=(n+1)(n+1-1)=n(n+1) /2. Ist das nicht ok?^^

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Warum hast du n + 1 verwendet? Ich habe keine vollständige Induktion gemacht, nur einfach umgeformt.

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Wegen induktion ist es falsch?

Answer 1

Faktorisiere mal deine Terme:

a) 2 ist ein Teiler von n²-n

n^2 - n = n(n-1)

von 2 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist eine durch 2 teilbar. Der Gesamtterm also das Produkt der beiden Faktoren ist das dann immer noch.

b) 6 ist ein Teiler von n⁵-n

n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 + 1)(n^2 - 1)

= n(n^2 + 1)(n+1)(n-1)

Die Faktoren n-1 , n und n+1 sind 3 aufeinanderfolgende natürliche Zahlen.

Genau einer davon ist durch 3 teilbar und mindestens einer ist durch 2 teilbar.

Daher ist das Produkt durch 2*3 = 6 teilbar.

c) 8 ist ein Teiler von (2n+1)²-1

Schaffst du jetzt selbst. Oder?

Comments

c) 8 ist ein Teiler von (2n+1)²-1

 (2n+1)²-1 = (2n+1 +1) * (2n+1 -1) 

= (2n + 2)*(2n)

= 2(n+1)* 2 * n

= 4 n(n+1)

Da n und n+1 zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen sind, ist eine davon durch 2 teilbar.

Das Produkt 4n(n+1) ist daher durch 4*2 = 8 teilbar.