Dimension und Basis bestimmen

Question

Ich soll die Dimension und eine Basis von U angeben.

\( U=\left[\left(\begin{array}{c}1 \\ -3 \\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1 \\ -8 \\ 9\end{array}\right)\right] \)

Außerdem soll ich schauen, ob die Vektoren x = (7, 0, -6)^T und y = (-2, -9, 17)^T zu U gehören und wie ihre Darstellung als Linearkombination der Basis aussehen würde.

Wie geh ich da am besten vor? Ich habe erst mal die Determinante bestimmt und die ist gleich 0 also sind die 3 Vektoren linear abhängig. Wie geht es weiter?

Answer 1

Um die Dimension zu bestimmen, würde ich die 3 Vektoren in eine Matrix schreiben, diese auf Dreiecksform bringen und den Rang ablesen. Das ist ja die Dimension von U.Zur Bestimmung der Basis.

Wenn du die Basis hast, kannst du ja ganz leicht dann noch die LGS mit x und y lösen bzw. versuchen zu lösen. Dann weisst du auch, ob die Vektoren zu U gehören.