Formel für Volumen eines geraden Kreiskegels durch Anwenden der Volumenformel für Rotationskörper herleiten

Question

Aufgabe:

Die Formel für das Volumen eines geraden Kreiskegels mit dem Radius \( \mathrm{r} \) und der Höhe \( \mathrm{h} \) soll durch Anwenden der Volumenformel für Rotationskörper hergeleitet werden (siehe Bild):

Ich weiß nicht weiter. Ich habe ja gar kein Intervall? Wie gehe ich denn da jetzt ran? Ich habe auch keine Funktionsgleichung oder so.

Answer 1

Du sollst ja auch keinen konkreten Wert für das Volumen ermitteln, sondern du sollst die allgemeine Formel für die Berechnung des Volumens eines geraden Kreiskegels herleiten.

Dein Intervall ist dabei

I = [ 0 ; h ]

und die allgemeine Gleichung der Randkurve f ( x ) sollst du auch selber ermitteln.
(Tipp: Dabei handelt es sich um eine Gerade, die durch den Ursprung und durch den Punkt ( h | r ) verläuft. )

Wende dann die Volumenformel für Rotationskörper auf diese Randkurve an und berechne das Integral über dem Intervall I.

Du solltest eine Formel erhalten, die äquivalent zu:

V = ( 1 / 3 ) * π * r ² * h

ist.

Versuche es mal selbst!

Comments

Also das Intervall aufzustellen etc verstehe ich ja noch aber wie soll ich denn selber eine allgemeine Formel der Randkurve f(x) aufstellen? soll das f(x) = hx + r sein oder wie?

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soll das f(x) = hx + r sein

So ähnlich.

Ich hatte dir ja als Tipp mitgegeben, dass es sich um eine Gerade durch den Ursprung handelt. Somit hat der y-Achsenabschnitt, also das b in der allgemeinen Geradengleichung

y = m x + b

den Wert 0. denn eine Ursprungsgerade schneidet ja die y-Achse an der Stelle y = 0

Die Steigung m einer Ursprungsgeraden, die durch den Punkt ( h | r )  verläuft, ist

m = r / h

Versuche dir das klarzumachen: Man erreicht den Punkt ( h | r ) vom Ursprung aus, indem man h Schritte in x-Richtung und r Schritte in y-Richtung macht. Die Steigung ist dann r / h.

Also lautet die Gleichung der Ursprungsgeraden, die durch den Punkt ( h | r ) verläuft:

y = ( r / h ) * x

Kommst du nun weiter?

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Ahhhhh okay. Gute Erklärung :) Werde es direkt mal probieren

So mal getestet... Weiß aber ehrlich nicht gesagt ob es richtig ist, weil ich mir unter einer allgemeinen Formel darunter nichts vorstellen kann. Ich habe jetzt einfach mal wie in meinen vorherigen Aufgaben das Integral gemacht.

Da kam ich halt auf V = (1/3) π ∫ ( ( r/ h) * x )²

Soll dies jetzt die allgemeine Formel dafür sein?

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So ganz richtig ist das nicht, denn solange das Integral noch da steht, kannst du nicht auf den Faktor ( 1 / 3 ) gekommen sein, denn der ergibt sich erst durch Berechnung des Integrals.

Die Anwendung der Volumenformel für Rotationskörper sollte folgenden Ausdruck ergeben:

$$V=\pi \int _{ 0 }^{ h }{ { \left( \frac { r }{ h } x \right)  }^{ 2 }dx }$$$$=\pi \int _{ 0 }^{ h }{ { \left( \frac { r }{ h }  \right)  }^{ 2 }{ x }^{ 2 }dx }$$$$=\pi { \left( \frac { r }{ h }  \right)  }^{ 2 }\int _{ 0 }^{ h }{ { x }^{ 2 }dx }$$

Kommst du nun weiter?

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Achsoooo ich dachte ich müsste y = ( r / h ) * x in der Volumenformel V = ( 1 / 3 ) * π * r 2 * h übernehmen. ahhh gut jetzt machts eher klick

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Achtung!

Ich habe soeben bemerkt, dass ich in den Formeln meinem letzten Kommentar leider h und r vertauscht habe. Ich habe es inzwischen korrigiert ....

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Ist mir gar nicht aufgefallen aber keine Sorge ich hatte eh selber eingesetzt :D weiß aber ehrlich gesagt nicht was ich noch machen sollte.

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Um es zum Ende zu bringen: So geht es weiter:

$$=\pi { \left( \frac { r }{ h }  \right)  }^{ 2 }{ \left[ \frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 } \right]  }_{ 0 }^{ h }$$$$=\pi { \left( \frac { r }{ h }  \right)  }^{ 2 }{ \left( \frac { 1 }{ 3 } { h }^{ 3 }-0 \right)  }$$$$=\pi { \left( \frac { r }{ h }  \right)  }^{ 2 }{ \left( \frac { 1 }{ 3 } { h }^{ 3 }-0 \right)  }$$$$=\frac { 1 }{ 3 } \pi { { r }^{ 2 }h }$$

Und das ist die allgemeine Formel für das Volumen eines geraden Kreiskegels mit dem Radius r und der Höhe h.

Answer 2

Funktion
f ( x ) = r / h * x
Fläche an der Stelle x
A ( x ) = π * [ f ( x ) ]^2 
A ( x ) = π * [  r / h * x ]^2
A ( x ) = π *  r^2 / h^2 * x^2
Stammfunktion bilden
S ( x ) = ∫  π *  r^2 / h^2 * x^2 dx
S ( x ) = π *  r^2 / h^2  ∫ x^2 dx
S ( x ) = π *  r^2 / h^2  * x^3 / 3
Volumen [ S ( x ) ]₀^h
V ( x ) = π *  r^2 / h^2  * ( h^3 / 3 - 0 / 3 )
V ( x ) =  π *  r^2 / h^2  * h^3 / 3
V ( x ) =  π *  r^2 * h / 3

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg