Formel für Volumen von Rotationskörper Vollkugeln herleiten

Question

Leiten Sie die Formeln für das Volumen der folgenden Rotationskörper her:

a) Vollkugel mit Radius r

b) Kugelabschnitt (Segment) der Höhe h einer Kugel mit Radius r

Hinweis: Verwenden Sie die Kurve y = Wurzel(r²-x²)

Ich kenne das Vorgehen, um einen Rotationskörper zu berechnen, doch ich weiss nicht, wie ich die Funktion aufsetzen soll.

Answer 1

Hi!

Der obere Halbkreis wäre \(y = \sqrt{r^2-x^2}\) mit \(-r \lt x \lt r\).

Damit ergibt sich das Kugelvolumen zu

$$ V = \pi\cdot\int_{-r}^{r}\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2\,\text{d}x. $$

Das Volumen des Kugelabschnitts lässt sich leicht daraus herleiten.

Comments

Besten Dank (eigentlich doof, es stand ja unten die zu nutzende Funktion, habe nicht gesehen -_-).

Wie ich die Formel fürs Kugelsegment allerdings abändern soll, ist mir schleierhaft. Ich weiss nur, dass die Höhe variiert werden muss.

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Man könnte für \(0 \lt h \lt 2r\) die obere Grenze durch \(r-h\) oder die untere Grenze durch \(h-r\) ersetzen.

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Man muss nur die Grenze anpassen? Wenn ich das tue, dann erhalte ich etwas ähnliches wie hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+pi*+%28%28r%5E2-x%5E2%29%5E%281%2F2%29%29%5E2+from+-r+to+r-h

Musterlösung hat etwas viel einfacheres: $$\pi \frac {h^2}{3}(3r-h)$$

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Wurde vielleicht eine der Grenzen auf 0 gesetzt?

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Ich habe eigentlich nichts auf 0 gesetzt.

Answer 2

y = √(r^2 - x^2)

Rotationsintegral

V = 2 * ∫ (0 bis r) pi * (√(r^2 - x^2))^2 dx

V = 2 * ∫ (0 bis r) pi * (r^2 - x^2) dx

V = 2 * pi * ∫ (0 bis r) (r^2 - x^2) dx

V = 2 * pi * [r^2 * x - 1/3 * x^3] (0 bis r)

V = 2 * pi * (r^2 * r - 1/3 * r^3)

V = 2 * pi * (r^3 - 1/3 * r^3)

V = 2 * pi * 2/3 * r^3

V = 4/3 * pi * r^3

Comments

Ich bedanke mich! Wie komme ich nun noch auf die Formel für das Segment?

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Lasse die 2 vor dem Integral weg und veränder die Grenzen von r - h bis r.

Das wars dann schon. Dann hat man ein Kugelabschnitt der Höhe h.

V = pi * [r² * x - 1/3 * x³] (r - h bis r) 

V = pi·((r^2·r - 1/3·r^3) - (r^2·(r - h) - 1/3·(r - h)^3))

V = pi·h^2·(3·r - h)/3