Volumen von Rotationskörper

Question

Ich kann mit der Aufgabe nichts Anfangen vielleicht kann mir jemand helfen.

Die Aufgabenstellung lautet:

Berechnen Sie das Volumen des abgebildeten Rotationskörpers und erkläre Sie die Herleitung, der dafür  zur Verfügung stehende Formel V=π ∫f(x)² dx .

Answer 1

Zu sehen ist zunächst einmal die Funktion
f ( x ) ( parabelförmig )
Lasse ich diese Funktion um die x-Achse rotieren
entsteht der dargestellte Körper.

Ein rotierender Funktionswert würde eine Scheibe bilden.
Diese Scheibe hat die Fläche
A ( x ) = [ f ( x ) ] ^2 * π
wobei f ( x ) dem Radius der Kreisscheibe
entspricht. ( r^2 * π ).

Jetzt wird über die Integralrechnung die Summe
aller Kreisscheiben ermittelt.
Stammfunktion
S ( x ) = ∫ [ f ( x ) ] ^2 * π dx

π vors Integral schreiben
S ( x ) = π * ∫ [ f ( x ) ] ^2  dx
Das Volumen ( x ) ist die Stammfunktion
zwischen -3 und -1

V ( x ) = π * ∫ [ f ( x ) ] ^2  dx zwischen -3 und -1

Answer 2

V_rot = π · _x1∫^x2  f(x)² dx .

zur Herleitung der Formel:

Wenn f(x) eine Parabel sein soll, hast du die Scheitelpunktform

f(x) = a · (x + 3)² + 1

der Graph geht durch (-1| 5)   →  f(-1) = a · (-1+3)² + 1 = 5   →  a = 1

f(x) =  (x + 3)² + 1  =  x² + 6·x + 10

\(V=π·\int_{-3}^{-1} \! (x^2+6x+10)^2 \, dx=π·\int_{-3}^{-1} \! (x^4+12x^3+56x^2+120x+100) \, dx\) $$\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{  = ... }=\text{ }\frac { 206· π }{ 15 } ≈ 43,14$$Gruß Wolfgang