Herleitung der Formel für Rotationskörper

Question

im groben verstehe ich die Herleitung zur Formel für die Rotationskörper.

Nur verstehe ich nicht, wieso pi nur einmal vorkommt. Müsste das nicht theoretisch auch in der Klammer stehen? Und Delta x kommt nur einmal vor, weil man den Durchschnitt aller Höhen nimmt, oder? Und f(x) entspricht ebenfalls dem Durchschnitt der Zylinderradien?

Liebe Grüße

Answer 1

Wir haben eine Funktion f(x), die um die x,Achse rotieren soll. Damit ist f(x) ein Radius einer Kreisfläche an der Stelle x.

Die Kreisfläche berechnet sich aus

pi * r^2 = pi * f(x)^2 

Jetzt integrieren wir über alle Kreisflächen im Intervall von a bis b

V = ∫ _{a bis b} (pi * f(x)^2) dx = pi * ∫ _{a bis b} (f(x)^2) dx

Das ist die Formel für das Ratationsintegral.

Comments

Danke für deine Antwort.

Ich verstehe aber das mit dem pi noch nicht ganz.

Wenn man z.B. einen Hohlkörper berechnet, dann rechnet man ja pi*[f(x)²-g(x)²]Delta x. Wieso genügt da sozusagen nur das eine pi und man muss es nicht für beide Funktionen aufschreiben?

Ich hoffe, ich habe mich verständlich ausgedrückt.

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Ein Kreisring würde sich ja aus
pi * R^2 - pi * r^2
berechnen. R ist der Außenradius und r der Innenradius. Hier kann man aber das pi ausklammern.

pi * R^2 - pi * r^2 = pi * (R^2 - r^2)

Dann steht dort das pi nur noch ein mal. Aber nur weil es aus beiden Termen ausgeklammert worden ist. Genau so klammerst du bei dir auch das pi aus. Zusätzlich wird es dann meist noch als Konstante vor das Integral gezogen.

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Ok, vielen Dank. Jetzt habe ich es verstanden.