\(x^2 = 1\) ist äquivalent zu \(x^2 - 1 = 0\). Dies ist wiederum äquivalent zu \((x-1)\cdot(x+1) = 0\).
Da der Körper \((K, +, \cdot)\) als Körper insbesondere nullteilerfrei ist, erhält man die äquivalente Bedingung \(x - 1 = 0\) oder \(x + 1 = 0\). Damit sind dann \(x = 1\) bzw. \(x = -1\) die einzigen Lösungen.
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Im Ring \((\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}, + , \cdot)\) ist auch wieder \(x^2 = \overline{1}\) äquivalent zu \((x - \overline{1})\cdot(x+\overline{1}) = \overline{0}\). Es gibt nun jedoch neben \(\overline{0}\) noch die Nullteiler \(\overline{2}, \overline{4}, \overline{6}\in\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\). Daher erhält man die äquivalente Bedingung \(x-\overline{1}\in\left\lbrace\overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6}\right\rbrace\) oder \(x+\overline{1}\in\left\lbrace\overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6}\right\rbrace\), also \(x\in\left\lbrace\overline{1}, \overline{3}, \overline{5},\overline{7}\right\rbrace\) oder \(x\in\left\lbrace\underbrace{\overline{-1}}_{=\overline{7}}, \overline{1}, \overline{3},\overline{5}\right\rbrace\).
Damit sind \(x\in\left\lbrace\overline{1}, \overline{3}, \overline{5},\overline{7}\right\rbrace\) die einzigen Lösungen der Gleichung \(x^2 = \overline{1}\) im Ring \((\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}, + , \cdot)\).
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Man könnte natürlich auch einfach alle \(8\) Elemente in \(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z} = \left\lbrace\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5}, \overline{6}, \overline{7}\right\rbrace\) durchprobieren, ob es sich jeweils um eine Lösung der Gleichung handelt oder nicht:
\(\overline{0}^2 = \overline{0} \ne \overline{1}\)
\(\overline{1}^2 = \overline{1} = \overline{1}\)
\(\overline{2}^2 = \overline{4} \ne \overline{1}\)
\(\overline{3}^2 = \overline{9} = \overline{1}\)
\(\overline{4}^2 = \overline{16} = \overline{0} \ne \overline{1}\)
\(\overline{5}^2 = \overline{25} = \overline{1}\)
\(\overline{6}^2 = \overline{36} = \overline{4} \ne \overline{1}\)
\(\overline{7}^2 = \overline{49} = \overline{1}\)
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Die beiden Ergebnisse passen insofern zusammen, dass \((\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}, + , \cdot)\) im Gegensatz zu \((K, +, \cdot)\) nicht nullteilerfrei ist.
