Beispiele zur Inversen Matrizen ......

Question

Ich wollte gerade dazu bisschen lernen. Leider verstehe ich das nicht.

http://www.mp.haw-hamburg.de/pers/Vassilevskaya/download/m1/matrix/spez-matr/inverse-1.pdf

DIe Beispielaufgaben dort :)

Answer 1

Es wäre wichtig zu wissen was du nicht verstehst.
Kannst du ein LGS in Matrizenform mit dem Gauss lösen? Wenn nicht solltest du damit anfangen bevor du dich an die Inverse machst. Denn im Grunde ist die Inverse nichts anderes als das Lösen mehrerer Linearer Gleichungssysteme gleichzeitig.

Comments

Ich schaue mir gerade ein Video zur Gauss Verfahren an :)

mal sehen...ich meld mich dann nochmal :)

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Naja Mathecoach??

Gauß Verfahren ist doch im Grund das Additionsverfahren oder nicht?

Nur da können halt mehrere Unbekannte und mehrere Gleichungen vorhanden sein? Oder nicht?

Weil das Additionsverfahren kann ich

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Ja. Der Gauss ist im Grunde das Additionsverfahren.
Und wenn du das kannst dann kannst du eigentlich auch Inverse von Matrizen lösen.

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Ich habe zwar Ideen, wie ich die 2.Beispielaufgabe lösen könnte, aber dieses

A*A¹=E verwirrt mich?  Was ist das???

Ich meine die erste Zeile würde ich mit |*(-2)

rechnen und dann wären dann -4 und 4 also hebt sichs weg und x ist weg und ich habe unter der Diagonale meine 0

...iwie so richtig mein Gedanke? 

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Gucke dir mal Zahlen an, für die a * a^{-1} = 1 gilt. z.B. $$5 * \frac{1}{5} = 5 * 5^{-1} = 1$$. Da gibt es für alle Zahlen, außer der 0, ein sogenanntes inverses Element a^{-1}. Bei Matrizen ist E eben die 1 und A^{-1} ist das inverse Element, so wie 5^{-1} bei 5 das inverse Element ist. Der Unterschied zu Zahlen ist, dass bei Matrizen das inverse Element noch bei anderen Matrizen ausser der Nullmatrix nicht existiert.

Für Zahlen gilt

$$a \cdot a^{-1} = 1$$, wobei $$a^{-1}$$ das inverse Element genannt wird und 1 die Eins.

Für Matrizen gilt

$$A \cdot A^{-1} = E$$, wobei $$A^{-1}$$ die inverse Matrix genannt wird und E die Einheitsmatrix.

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Die 1.Beispielaufgabe habe ich weg gelassen, weil da  nur Buchstaben waren :)

Trotzdem verstehe ich das mit dem A*A¹=E nicht .... tut mir leid wenn ich nerve :(

aber waren denn wenigstens meine Gedanken zur Beispielaufgabe 2 richtig?

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Das Inverse einer Zahl ist so Definiert das eine Zahl mal ihrer inversen 1 sein muss.

Also
2 * 1/2 = 1

3 * 1/3 = 1

usw.

Bei Matrizen ist es so definiert das Eine Matrix mal ihrer Inversen die Einheitsmatrix ergeben muss. Solltes du nicht wissen was eine Matrizenmultiplikation ist oder was die Einheitsmatrix ist dann bitte das zuerst lernen und nicht irgendwo in der Mitte anfangen.

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Das Verfahren zum Bestimmen der Matrix ist folgendes:

Du schreibst links die Matrix, deren Inverse zu bestimmen möchtest, rechts daneben einen Strich und dann die Einheitsmatrix.

Dann formst du die linke Matrix mit elementaren Zeilenumformungen bis zur Einheitsmatrix um und wendest diese Zeilenumformung gleichzeitig auch auf die rechte Seite an. Wenn die linke Seite dann die Einheitsmatrix ist, ist die rechte Seite die inverse Matrix.

Also z.B.

$$\begin{bmatrix}2&0&|&1&0\\4&2&|&0&1\end{bmatrix}$$

Jetzt umformen, bis links die Einheitsmatrix steht. Dann steht rechts die inverse Matrix. Wenn es nicht geht, existiert die inverse Matrix nicht.

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@Mathecoach: Ok Danke für die Erklärung. Matrixmultiplikation weiß ich. Aber Einheitsmatrix nicht. Das schaue ich mir dann erstmal an. Ich wusste ja nicht genau wo ich anfangen soll, weil da so ein großes Thema ist, dass auch bei Vektoren dran kommt :)


@Thilo: Danke auch natürlich für deine Erklärung :)

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Arbeitest du den nach einem Buch oder wie gehst du vor? Eigentlich sind Bücher in der Regel didaktisch aufgebaut. Das heißt man sollte sie von vorne nach hinten durcharbeiten und nicht umgekehrt.

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Manchmal hilft auch einfach neues Wissen "runterzuschlucken".

$$A^{-1}~\text{ist die inverse Matrix zu A, wenn}~A \cdot A^{-1} = E~\text{gilt.}$$

Schluss und aus. So ist sie definiert. Das ist die inverse Matrix. Das Verständnis dafür wirst du kriegen, wenn du dich mit den Grundlagen der linearen Algebra beschäftigst. Du solltest dir die Definition der inversen Matrix aber trotzdem schonmal merken.