Hier mal eine kleine Herleitung: Es gilt
\(\begin{aligned} Ax = b \implies b = \sum_{ k = 1}^{ n}x_{ k} a_{ k} \end{aligned}\)
wobei \( a_{ k} \) die \( k\)-te Spalte von \( A\) ist. Dann können wir mit einem kleinen Trick die Variable \( x_{ k} \) wie folgt bestimmen:
\(\begin{aligned} \det( a_{ 1} , \ldots , a_{ k - 1} , b, a_{ k + 1} , \ldots , a_{ n} ) &= \det( a_{ 1} , \ldots , a_{ k - 1} , \sum_{ j = 1}^{ n} x_{ j} a_{ j} , a_{ k + 1} , \ldots , a_{ n} ) \\ &= \sum_{ j = 1}^{ n} x_{ j} \det( a_{ 1} , \ldots , a_{ k - 1} , a_{ j} , a_{ k + 1} , \ldots , a_{ n} ) \\ &= x_{ k} \det( a_{ 1} , \ldots , a_{ k - 1} , a_{ k} , a_{ k + 1} , \ldots , a_{ n} ) = x_{ k} \det( A) \end{aligned}\)
und somit (gegeben, dass \( \det( A)\neq 0 \)) erhalten wir
\(\begin{aligned} x_{ k} = \frac{ \det( A_{ k} ) }{ \det( A) } , \quad A _{ k} = \begin{bmatrix} a_{ 1} & \cdots & a_{ k - 1} & b & a_{ k + 1} & \cdots & a_{ n} \end{bmatrix} .\end{aligned}\)
Um jetzt eine allgemeine Formel für die Inverse zu finden, müssen wir
eine Matrix \( A^{-1}\) finden, sodass die \( k\)-te Zeile von \( A^{-1}b \) eben diesem \( x_{ k} \) gleicht. Wir haben
\(\begin{aligned} \det( A_{ k} ) = \sum_{ \sigma \in S_{ n} } \operatorname{sgn}\left( \sigma \right) \prod_{j = 1}^{n} a _{j, \sigma ( j) } \end{aligned}\)
also kommt in jedem Summanden von \( \det( A_{ k} ) \) ein Eintrag des Vektors \( b\) vor. Somit erhalten wir für die \( k\)-te Zeile von \( A^{-1}\)
\(\begin{aligned} ( A^{-1}) _{ k, \ell } =\frac{1}{ \det( A) } \sum_{ \substack{ \sigma \in S_{ n}, \\ \sigma ( \ell ) = k} }^{ n} \operatorname{sgn}\left( \sigma \right) \prod_{\substack{ j = 1, \\ j \neq \ell } }^{n} a _{ j, \sigma ( j) } , \quad 1\leqslant \ell \leqslant n .\end{aligned}\)
Für den Spezialfall \( n = 2\) haben wir \( S_{ 2} = \{ \operatorname{id}_{ }, [ 1 \to 2, 2\to 1] \}\) und daher
\(\begin{aligned} A^{-1} = \frac{1}{ \det( A) } \begin{bmatrix} a_{ 2, 2} & -a_{ 1, 2} \\ - a_{ 2, 1} & a_{ 1, 1} \end{bmatrix} .\end{aligned}\)
