Determinanten einer Inversen Matrix

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Matrix
At =

−t    0     5
−2    t     1
  0    3   −6

a) Berechnen Sie det(At) und det(At^-1).

b) Sei E3 die kanonische Basis des R^3
Für welche t ∈ R ist die Abbildung Lt: R^3 → R^3
mit Matrixdarstellung ML^E3,E3 = At bijektiv?

Comments

Den Teil A habe ich nun gelöst. Weiß jemand eventuell wie genau man an b rangehen muss bzw. die Lösung?

Answer 1

Die Abbildung ist natürlich genau dann bijektiv, wenn die Determinante der Abbildungsmatrix nicht gleich 0 ist. Da du die Determinante schon bestimmt hast, bleibt also nur eine quadratische Gleichung zu lösen. Die resultierenden t-Werte sind jene, für welche die Abbildung nicht bijektiv sein kann.

Comments

Tut mir leid eine so "dumme" Frage zu stellen aber von welcher quadratischen Gleichung ist die Rede? Ich habe große Probleme  die Formale Mathematik zu entziffern um ehrlich zu sein.

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Die Determinante ist Det(At) = 3*(2t^2+t-10). Die Determinante der Umkehrabbildung (welche genau dann existiert, falls Det(At) ≠0 ist) ist der reziproke Wert davon.

Die Nullstellen von Det(At) liegen bei  t1=2 und t2=-2.5 . Für alle reellen t-Werte außer diesen beiden Ausnahmestellen ist die durch die Matrix At vermittelte Abbildung bijektiv.