Reisverpackung entwerfen, 1kg Reis, ≤ 15% Luft, Oktaeder

Question

Zum Schuljahresende hat sich unser Lehrer entschieden uns mit Matheprojekt zu ärgern, bei dem wir eine Reisverpackung entwerfen sollen, die 15% oder weniger Luft, enthalten soll. Der Körper, die Form der Reisverpackung, darf kein Quader und auch kein Würfel sein und soll mit 1kg Langkornreis gefüllt sein. Wir haben uns für einen gleichseitigen Oktaeder entschieden. Doch wie berechnet man jetzt anhand des Körpervolumens heraus welche Seiten- und Kantenlänger der Oktaeder hat? Über Hilfe wurde ich mich sehr freuen.

Comments

Du kannst dich sicher bei der Rubrik 'ähnliche Fragen' schon mal inspirieren lassen. Oktaederformeln z.B. auch hier: https://www.mathelounge.de/53140/oktaeder-gleichseitigen-dreiecken-begrenzt-berechne-oberflache

Answer 1

Lösungsweg:

Man ermittele das Volumen V_Reis von1 kg des Reises durch geeignete Messungen (siehe unten).

Für das Volumen V_Verpder Verpackung muss dann gelten:

V_Verp = V_Reis / 0,85

 

Für das Volumen V_Okt eines regelmäßigen Oktaeders mit der Kantenlänge a gilt :

V_Okt = a ³ * ( 1 / 3 ) * √ ( 2 )

Auflösen nach a ergibt:

<=> a ³ = 3 * V_Okt / √ ( 2 )

<=> a = ³√ ( 3 * V_Okt / √ ( 2 ) )

Mit V_Okt = V_Verp = V_Reis / 0,85 ergibt sich für die erforderliche Kantenlänge der Verpackung:

a = ³√ ( 3 * ( V_Reis / 0,85 ) / √ ( 2 ) )

= ³√ ( 3 * V_Reis / ( 0,85 * √ ( 2 ) ) )

= ³√ ( 3 * V_Reis / √ ( 0,85 ² *  2 ) )

= ³√ ( 3 * V_Reis / √ ( 1,445 ) )

 

Falls also für das Volumen eines Kilogrammes Reis z.B. der Wert 1200 cm ³ ermittelt wird, ergibt sich die Kantenlänge des entsprechenden Verpackungsoktaeders zu

a = ³√ ( 3 * 1200 / √ ( 1,445 ) )

≈ 14,414 cm

Probe:

Ein Oktaeder mit dieser Kantenlänge hat ein Volumen von

V_Okt = a ³ * ( 1 / 3 ) * √ ( 2 )

= 14,414 ³ * ( 1 / 3 ) * √ ( 2 )

≈ 1411,716 cm ³

85 % davon sind:

1411,716 cm ³ * 0,85 ≈ 1200cm ³

(wie gewünscht).

 

Und so kann man das Volumen von 1 kg Reis ermitteln:

Man messe 1 kg Reis ab und gebe diesen in eine möglichst dünne, mit Wasser gefüllte Messröhre. Dabei fange man das überlaufende Wasser auf und messe anschließend dessen Volumen. Dieses Volumen ist das gesuchte Volumen V_Reis.

Man führe diese Messung mehrfach durch und verwende den Mittelwert der Ergebnisse.